Η Συμφωνία των 34 Μιγαδικών Ριζών

Δίνεται το πολυώνυμο

$$P(x)=\big(1+x+x^2+\cdots+x^{17}\big)^2 - x^{17},$$

το οποίο διαθέτει $34$ μιγαδικές ρίζες της μορφής

$$z_k=r_k(\cos (2\pi a_k)+i\sin (2\pi a_k)),k=1,2,\dots ,34,$$

με $0 < a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_{34} < 1$ και $r_k>0$.
Δίνεται επίσης ότι

$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = \frac{m}{n},$$

όπου $m$ και $n$ είναι πρώτοι μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι.

Ζητείται να βρεθεί το άθροισμα m+n.