Υπάρχουν Άρρητοι Αριθμοί που Δίνουν Ρητό Αποτέλεσμα Όταν Υψώνονται σε Άρρητη Δύναμη;

Πρόταση

Υπάρχουν άρρητοι αριθμοί $x, y$ για τους οποίους ο $x^y$ είναι ρητός. 

Απόδειξη

Έστω 

$x = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ και $y = \sqrt{2}$. 

Γνωρίζουμε ότι ο $y$ είναι άρρητος, αλλά δεν είναι σαφές αν ο $x$ είναι ρητός ή άρρητος. 

Από τη μία πλευρά, αν ο $x$ είναι άρρητος, τότε έχουμε έναν άρρητο αριθμό υψωμένο σε μια άρρητη δύναμη που είναι ρητός: $$x^y = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2.$$Από την άλλη πλευρά, αν ο $x$ είναι ρητός, τότε ο $y^y = \sqrt{2}^{\sqrt{2}} = x$ είναι ρητός. 

Και στις δύο περιπτώσεις, έχουμε έναν άρρητο αριθμό υψωμένο σε μια άρρητη δύναμη που είναι ρητός.