🔍 Το Πρόβλημα του Ακέραιου Πλέγματος

Τι μπορείτε πραγματικά να «δείτε» από το (0, 0) στο άπειρο μαθηματικό σύμπαν;

Βρίσκεστε στο σημείο (0, 0), δηλαδή στο σημείο μηδέν του δισδιάστατου ακέραιου πλέγματος $\mathbb{Z}^2$

Αυτό το πλέγμα περιέχει όλα τα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες, όπως τα (1, 2), (-3, -1), (5, 0) κ.λπ.

Αναρωτιέστε:

Ποια σημεία μπορείτε να δείτε από το σημείο (0, 0);

Ποια σημεία βρίσκονται στην “ευθεία όρασης” σας και ποια είναι κρυμμένα πίσω από άλλα;

---

👁️‍🗨️ Τι σημαίνει «μπορώ να δω ένα σημείο»;

Λέμε ότι βλέπετε ένα σημείο (𝑥, 𝑦) από το (0, 0) αν η ευθεία που τα ενώνει δεν περνάει από κανένα άλλο σημείο του πλέγματος.

Παράδειγμα:

• Μπορείτε να δείτε το σημείο (1, 1): η ευθεία από (0, 0) σε (1, 1) δεν περνάει από άλλα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες.

• Δεν μπορείτε να δείτε το σημείο (2, 2): η ευθεία από (0, 0) προς (2, 2) περνάει από το (1, 1), που "μπλοκάρει" την οπτική σας επαφή.

Το ίδιο ισχύει για τα σημεία (3, 3), (4, 4), (5, 5), κ.λπ.—όλα βρίσκονται πίσω από το (1, 1).

---

📐 Μαθηματικά: Όραση και Μέγιστοι Κοινοί Διαιρέτες

Γενικά, το σημείο (𝑥, 𝑦) είναι ορατό από το (0, 0) αν και μόνο αν
👉 ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (gcd) των x και y είναι 1, δηλαδή:

$$\gcd(x, y) = 1$$

Παράδειγμα:

• Το (4, 3) είναι ορατό (gcd = 1) ✅

• Το (4, 2) δεν είναι ορατό (gcd = 2) ❌

---

📊 Ποιο ποσοστό των σημείων είναι ορατό;

Εδώ έρχεται η μαγεία των θεωρητικών μαθηματικών. Μπορεί να υπάρχουν άπειρα σημεία, αλλά μπορούμε να ρωτήσουμε:

Ποιο ποσοστό των σημείων (x, y) με ακέραιες συντεταγμένες είναι ορατό από την αρχή των αξόνων;

Η απάντηση είναι:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{6}{{\pi }^2}\approx \mathrm{0.6079}}}$$

✅ Δηλαδή, περίπου 60.79% των σημείων στο επίπεδο είναι ορατά από το (0, 0)!
❌ Το υπόλοιπο 39.21% είναι κρυμμένα πίσω από άλλα σημεία.

Αυτός ο αριθμός προκύπτει από ένα πανέμορφο αποτέλεσμα της αριθμητικής θεωρίας, σχετικό με την πιθανότητα δύο τυχαίοι ακέραιοι να είναι σχετικά πρώτοι.

---

🤯 Γιατί είναι τόσο εντυπωσιακό;

Το πλέγμα είναι άπειρο. Κι όμως, μέσα σε αυτή την απειρία, μόνο περίπου 6 στις 10 ακέραιες κατευθύνσεις είναι "καθαρές", χωρίς εμπόδια.

Μια απόδειξη πως η θεωρία αριθμών κρύβεται παντού, ακόμα και στο τι μπορούμε να «δούμε» στο άπειρο.