Το Γκαουσιανό Ολοκλήρωμα και η Σχέση του με την Κανονική Κατανομή

Το Γκαουσιανό Ολοκλήρωμα (γνωστό και ως ολοκλήρωμα Euler–Poisson) είναι ένα από τα πιο διάσημα ολοκληρώματα στα μαθηματικά και τη φυσική. Το βασικό του σχήμα είναι το εξής:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$$

✦ Πού εμφανίζεται:

• Στη Θεωρία Πιθανοτήτων, κυρίως στη κανονική (Γκαουσιανή) κατανομή

• Στη Στατιστική (για κανονικοποίηση πυκνότητας πιθανότητας)

• Στη Κβαντομηχανική

• Στην Ανάλυση Fourier

• Στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

---

✦ Πώς υπολογίζεται;

Το παράδοξο είναι ότι δεν μπορούμε να το υπολογίσουμε με στοιχειώδεις μεθόδους. Όμως, υπάρχει ένα έξυπνο τέχνασμα:

1. Θέτουμε:

$$I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx$$

2. Εξετάζουμε το τετράγωνο του ολοκληρώματος:

$$I^2={\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx\right)}^2={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

3. Κάνουμε αλλαγή μεταβλητών σε πολικές συντεταγμένες:

$$x^2 + y^2 = r^2,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta$$
$$I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} \cdot r\, dr\, d\theta = 2\pi \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r\, dr$$

4. Αλλαγή μεταβλητής: $u = r^2 \Rightarrow du = 2r\,dr$

$$I^2 = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \pi$$

Άρα:

$$I = \sqrt{\pi}$$

✦ Γενικευμένη Μορφή:

Για θετικό $a > 0$:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$