Αδύνατο; Κι Όμως! Η Τριγωνομετρική Απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Τον Μάρτιο του 2023, δύο μαθήτριες λυκείου, η Calcea Johnson και η Ne’Kiya Jackson, παρουσίασαν μια νέα απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, η οποία θεωρούνταν αδύνατη για περισσότερα από 2.000 χρόνια: μια τριγωνομετρική απόδειξη.

Μέχρι σήμερα, οι μαθηματικοί πίστευαν ότι οποιαδήποτε απόδειξη βασισμένη στην τριγωνομετρία θα ήταν κυκλική, αφού οι θεμελιώδεις τριγωνομετρικές ταυτότητες – όπως η

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$$

στηρίζονται στο Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Αυτό επισημαίνει και ο Elisha Loomis στο βιβλίο του Η Πυθαγόρεια Πρόταση, που περιέχει τη μεγαλύτερη συλλογή αποδείξεων (πάνω από 370):

«Δεν υπάρχουν τριγωνομετρικές αποδείξεις, επειδή όλοι οι θεμελιώδεις τύποι της τριγωνομετρίας βασίζονται οι ίδιοι στο Πυθαγόρειο Θεώρημα.»

Ωστόσο, η απόδειξη των Johnson και Jackson βασίζεται στον Νόμο των Ημιτόνων και αποφεύγει τη χρήση της ταυτότητας $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Έτσι, η απόδειξη είναι ανεξάρτητη και μη κυκλική.

Η ανακάλυψη αυτή είναι ιδιαίτερα εντυπωσιακή, όχι μόνο γιατί έρχεται από δύο νεαρές μαθήτριες, αλλά και γιατί ανοίγει νέους δρόμους στη μαθηματική σκέψη, αποδεικνύοντας ότι ακόμα και κλασικά θεωρήματα μπορούν να αποκτήσουν νέες, απροσδόκητες αποδείξεις.