Πώς Υπολογίζουμε το Εμβαδόν μιας Έλλειψης;

Οι ελλείψεις είναι ένα θεμελιώδες σχήμα τόσο στα μαθηματικά όσο και στη φύση. Περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Μέναιχμο τον 4ο αιώνα π.Χ. και έχουν γίνει ένα τυπικό στοιχείο της μαθηματικής εκπαίδευσης.

Πιο συγκεκριμένα, όπως ανακάλυψε ο Γιοχάνες Κέπλερ τον 17ο αιώνα, οι τροχιές των πλανητών περιγράφονται με αξιοσημείωτη ακρίβεια από ελλείψεις.

Μπορούμε να φανταστούμε την έλλειψη σαν έναν κύκλο τεντωμένο προς μία κατεύθυνση.

---

Ορισμός της Έλλειψης μέσω Κωνικών Τομών

Οι ελλείψεις ανήκουν στην οικογένεια των κωνικών τομών, δηλαδή των σχημάτων που προκύπτουν όταν ένα επίπεδο τέμνει έναν κώνο.

• Κύκλος → Το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου.

• Έλλειψη → Το επίπεδο τέμνει τον κώνο λοξά αλλά χωρίς να τον τέμνει στη βάση του.

• Παραβολή → Το επίπεδο είναι παράλληλο σε μία γενέτειρα του κώνου.

• Υπερβολή → Το επίπεδο τέμνει και τα δύο μέρη του διπλού κώνου.

Στην εικόνα, η κόκκινη καμπύλη είναι η έλλειψη που σχηματίζεται από την τομή ενός κώνου με λοξό επίπεδο.

Γεωμετρικός Ορισμός

Η έλλειψη είναι το σύνολο των σημείων ενός επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία, που ονομάζονται εστίες, είναι σταθερό.

---

Τύπος Εμβαδού Έλλειψης

Αν η έλλειψη έχει:

• μεγάλο ημιάξονα $a$
  

• μικρό ημιάξονα $b$
  

τότε το εμβαδόν της δίνεται από τον τύπο:

$$E=\pi \cdot a\cdot b$$

Δηλαδή, το εμβαδόν της έλλειψης είναι ίσο με το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα ίση με τον γεωμετρικό μέσο των αξόνων της.