🎲 Πόσες Ζαριές Χρειάζονται μέχρι να Φέρεις Δύο Συνεχόμενα Εξάρια;

Ας εξετάσουμε ένα φαινομενικά απλό πρόβλημα πιθανοτήτων: Ρίχνεις ένα δίκαιο εξάεδρο ζάρι επαναλαμβανόμενα, μέχρι να εμφανιστούν δύο συνεχόμενα εξάρια.

Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός ζαριών μέχρι να τελειώσει το «παιχνίδι»;

---

Αρχικά, φαίνεται εύκολο: η πιθανότητα να φέρεις ένα εξάρι είναι $\dfrac{1}{6}$​.

Για δύο εξάρια στη σειρά, ίσως σκεφτεί κανείς $\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$.

Άρα, η αναμενόμενη τιμή θα ήταν το αντίστροφο: 36. Σωστά;

Αυτό το σκεπτικό ισχύει για ένα διαφορετικό πρόβλημα: όταν ρίχνεις δύο ζάρια ταυτόχρονα, περιμένοντας το ζευγάρι $(6, 6)$.
Εκεί η αναμενόμενη τιμή είναι 36 «ρίψεις δύο ζαριών», δηλαδή 72 συνολικές ζαριές.

Στην περίπτωσή μας, όμως, ρίχνουμε ένα ζάρι τη φορά και ψάχνουμε διαδοχικά εξάρια.
Η αναμενόμενη τιμή είναι μικρότερη από 72, αλλά πόσο;