Ο Αριθμός του Γκράχαμ – Ο γίγαντας που δεν χωράει στο σύμπαν

Υπάρχουν αριθμοί που είναι τόσο μεγάλοι, ώστε δεν μπορούν να γραφτούν ούτε αν είχαμε όλο το σύμπαν για χαρτί! Ένας από αυτούς είναι ο διάσημος Αριθμός του Γκράχαμ (Graham's Number). Είναι τόσο απίστευτα μεγάλος που το μυαλό μας αδυνατεί να τον συλλάβει.

Η Ιστορία πίσω από τον Αριθμό

Ο αριθμός αυτός προέκυψε από μια ερώτηση της θεωρίας Ramsey, ενός κλάδου των μαθηματικών που μελετά τα "μοτίβα" που εμφανίζονται σε πολύ μεγάλες δομές. Συγκεκριμένα, η ερώτηση αφορά το χρωματισμό των ακμών ενός πολυδιάστατου κύβου και το εύρεσμα μονόχρωμων επιπέδων.

Ο μαθηματικός Ronald Graham χρησιμοποίησε αυτόν τον αριθμό ως ανώτερο όριο σε μια απόδειξη το 1977. Από τότε έγινε διάσημος ως «ο μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε ποτέ σε μαθηματική απόδειξη».

Πώς Κατασκευάζεται ο Αριθμός

Για να καταλάβουμε τον Αριθμό του Γκράχαμ, πρέπει πρώτα να μάθουμε τη σημειογραφία με βέλη του Knuth:

• 3↑3 = 3³ = 27
• 3↑↑3 = 3^3^3 = 3²⁷ = 7.625.597.484.987
• 3↑↑↑3 = ένας πύργος από 7.625.597.484.987 τριάδες που υψώνονται σε δύναμη!

Ο Αριθμός του Γκράχαμ ορίζεται ως εξής:

• g₁ = 3↑↑↑↑3 (τέσσερα βέλη)
• g₂ = 3↑^(g₁)3 (g₁ βέλη)
• g₃ = 3↑^(g₂)3 (g₂ βέλη)
• ...
• g₆₄ = 3↑^(g₆₃)3

Ο Αριθμός του Γκράχαμ είναι το g₆₄.

Πόσο Μεγάλος είναι;

• Δεν είναι δυνατό να γραφτεί σε δεκαδική μορφή – δεν υπάρχει αρκετός χώρος στο σύμπαν!
• Αν προσπαθούσαμε να γράψουμε τον αριθμό του Γκράχαμ με μηδενικά και άσσους, ακόμα και αν κάθε υποατομικό σωματίδιο στο σύμπαν αντιπροσώπευε ένα ψηφίο, δε θα χωρούσε έστω ένα απειροστό κλάσμα του.
• Παρά το τεράστιο μέγεθός του, γνωρίζουμε το τελευταίο του ψηφίο: είναι το 7!

Σύγκριση με άλλους "Μεγάλους" Αριθμούς

Για να καταλάβουμε την κλίμακα:

• Ένας Googol (10¹⁰⁰) μοιάζει αμελητέος μπροστά στον αριθμό του Γκράχαμ.
• Ακόμα και ο Googolplex (10^Googol) είναι «μικροσκοπικός» σε σύγκριση.
• Ο αριθμός των ατόμων στο σύμπαν (~10⁸⁰) είναι παιδικό παραμυθάκι.

Ενδιαφέροντα Γεγονότα

• Σήμερα γνωρίζουμε ότι το πραγματικό ανώτερο όριο για το πρόβλημα που μελετούσε ο Graham είναι πολύ μικρότερο από τον αριθμό του.
• Ο Αριθμός του Γκράχαμ ήταν καταχωρημένος στο Βιβλίο Γκίνες ως ο "μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε σε μαθηματική απόδειξη" μέχρι να εμφανιστούν ακόμα μεγαλύτεροι.
• Είναι ένα τέλειο παράδειγμα του πώς τα μαθηματικά μπορούν να μας οδηγήσουν σε έννοιες που ξεπερνούν κάθε ανθρώπινη εμπειρία!