Η Συνάρτηση του Αλιγάτορα: Μια Μαθηματική Βουτιά στην Περιοδικότητα!

H συνάρτηση οπτικά μας θυμίζει το άνοιγμα και το κλείσιμο του στόματος ενός αλιγάτορα! Μια τέλεια ευκαιρία να δούμε πώς οι μαθηματικές συναρτήσεις μπορούν να περιγράψουν δυναμικές, περιοδικές συμπεριφορές. 

Η συνάρτηση είναι η εξής: $$f(x) = \dfrac{10}{50 \sin\left(\dfrac{\pi}{10}(2x-5)\right) + 51}$$ Tι κάνει αυτή η συνάρτηση "αλιγάτορα"; 

Ο Παρονομαστής είναι το Κλειδί

Το πιο σημαντικό κομμάτι είναι ο παρονομαστής, ο οποίος περιέχει τη συνάρτηση του ημιτόνου ($\sin$). Η συνάρτηση του ημιτόνου είναι περιοδική, που σημαίνει ότι η τιμή της αυξομειώνεται σε ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο. 

Συγκεκριμένα, το $\sin(\theta)$ παίρνει τιμές μεταξύ $-1$ και $+1$.

Το "Άνοιγμα" και το "Κλείσιμο": 

Όταν το $\sin\left(\dfrac{\pi}{10}(2x-5)\right)$ είναι κοντά στο μέγιστο ($+1$), τότε ο παρονομαστής γίνεται $50 \times 1 + 51 = 101$. Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή της $f(x)$ είναι $\dfrac{10}{101}$, μια μικρή τιμή, σαν το στόμα του αλιγάτορα να είναι κλειστό. 

 Όταν το $\sin\left(\dfrac{\pi}{10}(2x-5)\right)$ είναι κοντά στο ελάχιστο ($-1$), τότε ο παρονομαστής γίνεται $50 \times (-1) + 51 = -50 + 51 = 1$. 

Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή της $f(x)$ είναι $\dfrac{10}{1} = 10$, μια μεγαλύτερη τιμή, σαν το στόμα του αλιγάτορα να είναι ανοιχτό. 

Το "Δάγκωμα" (Περίοδος):

Ο όρος $\dfrac{\pi}{10}(2x-5)$ μέσα στο ημίτονο καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης. Αυτός ο παράγοντας ελέγχει πόσο γρήγορα επαναλαμβάνεται το μοτίβο του ανοίγματος/κλεισίματος. 

Μπορούμε να υπολογίσουμε την περίοδο: 

Η βασική περίοδος του $\sin(u)$ είναι $2\pi$. 

Εδώ, 

$u = \dfrac{\pi}{10}(2x-5) = \dfrac{2\pi}{10}x - \frac{5\pi}{10} = \dfrac{\pi}{5}x - \dfrac{\pi}{2}$. 

Η περίοδος $T$ της $f(x)$ είναι 

$T = \frac{2\pi}{|\text{συντελεστής του } x|} = \dfrac{2\pi}{\pi/5} = 10$. 

Άρα, κάθε 10 μονάδες του $x$, ο "αλιγάτορας" ολοκληρώνει έναν πλήρη κύκλο ανοίγματος και κλεισίματος! 

Aναλυτικότερα δείτε εδώ: desmos