Η Ομορφιά των Μαθηματικών: Μια Εκθαμβωτική Ταυτότητα του Ραμανούτζαν που Ενώνει το π και τη Χρυσή Τομή!

Η εικόνα δείχνει μια μαθηματική ταυτότητα: $$ \frac{\pi^2}{6} - 3 \ln\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (k!)^2}{(2k)!(2k+1)^2} $$ 

Και η ανάπτυξη της σειράς είναι: $$ 1 - \frac{1}{2! \cdot 3^2} + \frac{(2!)^2}{4! \cdot 5^2} - \frac{(3!)^2}{6! \cdot 7^2} + \frac{(4!)^2}{8! \cdot 9^2} - \dots $$

Ας αναλύσουμε τι ακριβώς βλέπουμε και γιατί είναι τόσο συναρπαστικό:

1. Το  $\dfrac{π^2}{6}$​: Αυτός ο όρος προέρχεται από το περίφημο Πρόβλημα της Βασιλείας, που λύθηκε από τον κορυφαίο μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ τον 18ο αιώνα. Ο Όιλερ απέδειξε ότι το άθροισμα των αντίστροφων τετραγώνων όλων των φυσικών αριθμών ($\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$​) ισούται ακριβώς με $\dfrac{π^2}{6}$​. Μια θεμελιώδης σχέση που συνδέει τους ακέραιους αριθμούς με τον κύκλο (μέσω του π).

2. Η Χρυσή Τομή ($\varphi$) και ο Λογάριθμός της: Ο αριθμός  είναι η γνωστή μας Χρυσή Τομή, που συνήθως συμβολίζεται με ϕ. Αυτός ο αναλογικός αριθμός έχει μαγέψει καλλιτέχνες, αρχιτέκτονες και μαθηματικούς από την αρχαιότητα, εμφανιζόμενος στην τέχνη, τη φύση, και τη γεωμετρία (π.χ. στην ακολουθία Fibonacci). Η εμφάνιση του λογαρίθμου της χρυσής τομής σε αυτή την ταυτότητα είναι εντυπωσιακή και υποδηλώνει βαθύτερες συνδέσεις.

3. Η Άπειρη Σειρά: Στη δεξιά πλευρά έχουμε μια άπειρη σειρά που περιλαμβάνει παραγοντικά και εναλλασσόμενα πρόσημα.