🔵 Ημικύκλια και Εφαπτόμενοι Κύκλοι

 

Έξι σημεία, τα $A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2$, βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία, με αυτή τη σειρά.

• Τα ημικύκλια με διαμέτρους τα ευθύγραμμα τμήματα $A_1A_2$, $B_1B_2$, και $C_1C_2$ είναι σχεδιασμένα όπως φαίνεται στο σχήμα.

• Τα ημικύκλια με διαμέτρους $A_1A_2$ και $B_1B_2$ τέμνονται στο σημείο $P$
  

• Τα ημικύκλια με διαμέτρους $B_1B_2$ και $C_1C_2$ τέμνονται στο σημείο $Q$.

• Τα ημικύκλια με διαμέτρους $C_1C_2$ και $A_1A_2$ τέμνονται στο σημείο $R$.

Μέσα στην περιοχή που ορίζεται από τα τρία ημικύκλια είναι σχεδιασμένοι δύο κύκλοι, οι οποίοι είναι εφαπτόμενοι και στα τρία ημικύκλια:

• Ο κύκλος $k$ εφάπτεται στα ημικύκλια και εφάπτεται στο ημικύκλιο με διάμετρο $A_1A_2$ στο σημείο $K$.

• Ο κύκλος $\ell$ εφάπτεται επίσης και στα τρία ημικύκλια, και εφάπτεται στο ημικύκλιο με διάμετρο $C_1C_2$ στο σημείο $L$.

---

🧮 Να αποδείξετε ότι:

$$\frac{A_{1}R\cdot B_{1}P\cdot B_{2}Q\cdot C_{2}R}{A_{2}R\cdot B_{1}Q\cdot B_{2}P\cdot C_{1}R}=\frac{A_{1}K\cdot C_{2}L}{A_{2}K\cdot C_{1}L}$$