Fibonacci + Binet = Χρυσή Τομή στα Μαθηματικά

🔢 Οι Αριθμοί Φιμπονάτσι και η Χρυσή Τομή

Οι αριθμοί Φιμπονάτσι αποτελούν μία από τις πιο γνωστές και όμορφες ακολουθίες στα μαθηματικά. Παρότι συνδέονται συχνά με το όνομα του Ιταλού μαθηματικού Λεονάρντο Φιμπονάτσι, η ακολουθία ήταν γνωστή ήδη από την αρχαιότητα.

📜 Ιστορικά, οι αριθμοί αυτοί εμφανίζονται σε έργο του Ινδού λόγιου Πινγκάλα γύρω στο 200 π.Χ., στο πλαίσιο μελέτης των ρυθμικών μοτίβων στη σανσκριτική ποίηση. Οι Ινδοί μαθηματικοί τους μελέτησαν σε σχέση με τη δυαδική απαρίθμηση και την αναδρομή, πολύ πριν εμφανιστούν στα ευρωπαϊκά κείμενα.

---

✨ Η Μη Αναδρομική Μορφή (Κλειστή Φόρμουλα)

Οι αριθμοί Φιμπονάτσι $F_n$ ορίζονται αναδρομικά ως:

$$F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ για } n \geq 2$$

Όμως, υπάρχει και μη αναδρομική (κλειστή) έκφραση, γνωστή ως τύπος του Binet:

$$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$όπου:

• $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ είναι η Χρυσή Τομή

• $\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ είναι η συζυγής της

---

💡 Γιατί αυτό είναι εντυπωσιακό;

Παρά το ότι οι αριθμοί Φιμπονάτσι είναι ακέραιοι, η έκφρασή τους περιλαμβάνει ριζικούς και άρρητους αριθμούς — κι όμως, πάντα δίνει ακέραιο αποτέλεσμα! Μια εκπληκτική σύνδεση της αναδρομής με την άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών.