Μια όμορφη ιδιότητα των κυρτών συνόλων – Το Θεώρημα του Helly

Έστω μια πεπερασμένη οικογένεια F από κυρτά σύνολα στο $R^2$. Αν η τομή κάθε τριών συνόλων της οικογένειας είναι μη κενή, τότε και η τομή όλων των συνόλων της οικογένειας είναι μη κενή:

$$\bigcap_{C \in \mathcal{F}} C \neq \emptyset.$$

Γενίκευση σε $\mathbb{R}^d$:

Ο Helly απέδειξε ότι σε οποιαδήποτε διάσταση $d$:

• Αν μια οικογένεια από κυρτά σύνολα στο $\mathbb{R}^d$ έχει την ιδιότητα ότι κάθε

  υποοικογένεια από $d+1$ σύνολα έχει μη κενή τομή, τότε και η τομή όλων των συνόλων είναι μη κενή.

Για παράδειγμα:

• Στο επίπεδο ($d=2$) αρκεί να ελέγξουμε την τομή κάθε τριάδας.

• Στο χώρο ($d=3$) αρκεί να ελέγξουμε την τομή κάθε τετράδας.

Ο Έντουαρντ Χέλι (Eduard Helly, 1884–1943) ήταν Αυστριακός μαθηματικός που ειδικεύτηκε στην ανάλυση και τη γεωμετρία. Το 1913, σε ηλικία μόλις 29 ετών, διατύπωσε το θεώρημα που φέρει το όνομά του, το οποίο συνδέει την τοπική ιδιότητα των τομών μικρών υποσυνόλων με την παγκόσμια τομή μιας οικογένειας κυρτών συνόλων.

Ιστορικά σημεία:

• Το θεώρημα εμφανίστηκε αρχικά στο διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης, όπου επηρεάστηκε από μαθηματικούς όπως ο Γουσταύος Φέχνερ και ο Βίλχελμ Βιρτίνγκερ.

• Η εργασία του δεν έγινε αμέσως γνωστή, αλλά το θεώρημα αναδείχθηκε σταδιακά από μαθηματικούς όπως ο Carathéodory και ο Radon, οι οποίοι το ενέταξαν στη γενικότερη μελέτη της κυρτότητας.

• Σήμερα, το θεώρημα του Helly θεωρείται θεμέλιο στην Κυρτή Γεωμετρία και βρίσκει εφαρμογές στην Επιχειρησιακή Έρευνα, στους Αλγορίθμους και στην Υπολογιστική Γεωμετρία.