📐 Θεώρημα Holditch: Ένα κάπως ξεχασμένο θεώρημα με εντυπωσιακή γεωμετρική κομψότητα

Η κινούμενη εικόνα που βλέπετε παρακάτω —δημιουργία του Matthew Henderson— απεικονίζει ένα απλό ευθύγραμμο τμήμα σταθερού μήκους, του οποίου τα άκρα κινούνται κατά μήκος της περιφέρειας μιας έλλειψης. 

Το αποτέλεσμα είναι η χάραξη ενός νέου, δυναμικού σχήματος από κάποιο σημείο του τμήματος. Τι σχήμα είναι αυτό; Πόσο είναι το εμβαδόν του;

---

🧠 Η Διατύπωση του Θεωρήματος

Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα σταθερού μήκους που κινείται με τέτοιο τρόπο ώστε τα άκρα του να παραμένουν πάντα πάνω σε μια κλειστή κυρτή καμπύλη (π.χ. κύκλο, έλλειψη κ.λπ.).

Ας υποθέσουμε ότι ένα σημείο βρίσκεται πάνω στο τμήμα, σε απόσταση $p$ από το ένα άκρο και $q$ από το άλλο, έτσι ώστε $p + q =$ το μήκος του τμήματος.

🧾 Θεώρημα Holditch (1858):
Το γεωμετρικό σχήμα που διαγράφεται από το ενδιάμεσο αυτό σημείο έχει εμβαδόν μικρότερο από το εμβαδόν της αρχικής καμπύλης (π.χ. έλλειψη) κατά τουλάχιστον:

$$\pi \cdot p\cdot q$$

📌 Δηλαδή, το εμβαδόν που «χάνεται» λόγω της κίνησης του σημείου δεν εξαρτάται από το σχήμα της καμπύλης, αλλά μόνο από τις αποστάσεις $p$ και $q$.