🧩 Όταν το Φανταστικό γίνεται Πραγματικό: Το Παράδοξο του $ i ^i$

Μπορεί κάτι που δεν είναι καν πραγματικό να δώσει πραγματικό αποτέλεσμα;
Η απάντηση: Ναι! Κι αυτό είναι ένα από τα πιο παράξενα των μαθηματικών!

---

🔷 Τι είναι ο φανταστικός αριθμός $i$;

Ορίζουμε:

$$i = \sqrt{-1}$$

Είναι ο βασικός λίθος του κόσμου των μιγαδικών αριθμών, οι οποίοι έχουν τη μορφή:

$$z=a+b\mathrm{i\; ό\pi o\upsilon \; a},b\in \mathbb{R}$$

Στο σχολείο μαθαίνουμε ότι δεν μπορούμε να πάρουμε ρίζα αρνητικού αριθμού. Κι όμως, στα μαθηματικά προχωρημένου επιπέδου, όχι μόνο το κάνουμε — το χτίζουμε πάνω του ολόκληρες θεωρίες.

---

❓ Τι συμβαίνει αν υψώσουμε το $i$ στον εαυτό του;

Αυτό είναι που κάνει την ιστορία… εκπληκτική!

Αν υπολογίσουμε:

$$i^i$$

το αποτέλεσμα δεν είναι φανταστικός αριθμός, ούτε μιγαδικός με φανταστικό μέρος. Είναι πραγματικός αριθμός!

Συγκεκριμένα:

$$i^i=e^{-\pi \mathrm{/}2}\approx \mathrm{0.207879576...}$$

Μπορείτε να το δοκιμάσετε σε μια επιστημονική αριθμομηχανή ή με ένα λογισμικό όπως το WolframAlpha ή το GeoGebra.

---

🧠 Πώς προκύπτει αυτό;

Ας δούμε λίγα βήματα μαθηματικής μαγείας:

Γνωρίζουμε ότι:

$$i=e^{i\pi \mathrm{/}2}$$

Άρα:

$$\ln (i)=i\cdot \frac{\pi }{\mathrm{2}}$$

Και τότε:

$$i^i=e^{i\cdot \ln (i)}=e^{i\cdot i\cdot \frac{\pi }{2}}=e^{-\pi \mathrm{/}2}$$

---

🔁 Ακόμα πιο περίεργο: Δεν είναι μόνο ένα το αποτέλεσμα!

Ο λογάριθμος στους μιγαδικούς αριθμούς δεν είναι μοναδικός — είναι πολυτιματικός. Δηλαδή:

$$\ln(i) = i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Και έτσι:

$$i^i = e^{- \left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)}$$

Δηλαδή το $i^i$ έχει άπειρες πραγματικές τιμές, όλες θετικές, όλες της μορφής:

$$i^i=e^{-(\pi \mathrm{/}2+2k\pi )},\text{με }k=0,1,2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$$