🧠 Μια Απλή Απόδειξη του Θεωρήματος του Wilson

🔎 Το Θεώρημα του Wilson

Το θεώρημα του Wilson παρέχει μια αναγκαία και ικανή συνθήκη για να ελέγξουμε αν ένας φυσικός αριθμός p > 1 είναι πρώτος. 

John Wilson(1741 — 1793)

Διατυπώνεται ως εξής:

Ένας φυσικός αριθμός p είναι πρώτος αν και μόνο αν: 

(p−1)!≡−1(modp)

Δηλαδή, το παραγοντικό του $p-1$, αυξημένο κατά 1, διαιρείται ακριβώς με τον p, μόνο όταν ο p είναι πρώτος.

---

📘 Ιστορική Προέλευση

Παρόλο που το θεώρημα φέρει το όνομα του John Wilson (1741–1793), αυτός δεν το απέδειξε.

Το διατύπωσε πρώτος ο δάσκαλός του, Edward Waring, το 1770.

Η απόδειξη δόθηκε από τον Joseph-Louis Lagrange ένα χρόνο αργότερα, το 1771.

Ωστόσο, υπάρχουν ενδείξεις ότι ήταν ήδη γνωστό στον Ιμπν αλ-Χάιτχαμ (Alhazen), έναν Πέρση μαθηματικό του 10ου αιώνα!

---

📐 Παράδειγμα

Ας ελέγξουμε αν p = 5 είναι πρώτος:

• Υπολογίζουμε:

  $$(5 - 1)! = 4! = 24$$

• Ελέγχουμε:

  $$24 \mod 5 = 4 \Rightarrow 4 \equiv -1 \mod 5$$

Άρα:

$$(5 - 1)! \equiv -1 \pmod{5} \Rightarrow \text{ο 5 είναι πρώτος}$$

Το ίδιο ισχύει για το 7:

$$6! = 720 \Rightarrow 720 \mod 7 = 6 \Rightarrow 6 \equiv -1 \mod 7$$

---

❌ Αντιπαράδειγμα (σύνθετος αριθμός)

Έστω p = 6 (που δεν είναι πρώτος):

• $(6 - 1)! = 5! = 120$

• $120 \mod 6 = 0 \Rightarrow 0 \neq -1 \mod 6$

Άρα το θεώρημα δεν ισχύει για σύνθετους αριθμούς — και αυτό είναι μέρος της δύναμής του:

Ισχύει αν και μόνο αν ο αριθμός είναι πρώτος.

---

🧩 Γιατί Λειτουργεί;

Η μαθηματική μαγεία του θεωρήματος βρίσκεται στη δομή του πολλαπλασιαστικού υπολοίπου modulo p, όπου οι αμοιβαία αντίστροφοι αριθμοί "ακυρώνουν" ο ένας τον άλλον στο παραγοντικό.

Για παράδειγμα:

• Αν p είναι πρώτος, τότε κάθε αριθμός από 1 ως p−1 έχει αντίστροφο modulo p.

• Τα ζεύγη (a, a⁻¹) στο γινόμενο του (p−1)! εξουδετερώνονται, εκτός από τον 1 και τον p−1, που είναι αυτοαντίστροφοι όταν p είναι περιττός.

• Έτσι, καταλήγουμε ότι:

  $$(p−1)! \equiv −1 \mod p$$

---

🧠 Συμπέρασμα

Το Θεώρημα του Wilson είναι ένα παράδειγμα του πώς μια απλή εξίσωση μπορεί να κρύβει τεράστιο μαθηματικό βάθος. Η σχέση ανάμεσα στην παραγοντική συνάρτηση και την πρωτογένεια είναι μια μαρτυρία για την εσωτερική συμμετρία των αριθμών.

🔍 Μερικές φορές, ο πιο κομψός δρόμος για να αναγνωρίσεις έναν πρώτο αριθμό… περνά από το ! (παραγοντικό).