Το Πρόβλημα 6 της Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας (IMO), είναι παραδοσιακά το δυσκολότερο πρόβλημα της Ολυμπιάδας. Το έτος 2023 όμως ήταν εξαιρετικής δυσκολίας καθώς η συντριπτική πλειοψηφία των διαγωνιζόμενων μαθητών σημείωσε 0 βαθμούς σε αυτό, ενώ μόλις 6 από τους πάνω από 600 συμμετέχοντες κατάφεραν να συγκεντρώσουν το σύνολο των 7 βαθμών.
Αυτό το απαιτητικό πρόβλημα προτάθηκε από δύο διακεκριμένους πρώην χρυσούς Ολυμπιονίκες του IMO από τις ΗΠΑ: τον Ankan Bhattacharya και τον Luke Robitaille. Ο Luke Robitaille ειδικότερα, είναι μια εξέχουσα μορφή στην ιστορία του IMO, καθώς κατατάσσεται στην 6η θέση στο "Hall of Fame" του διαγωνισμού, έχοντας συμμετάσχει σε 4 Ολυμπιάδες και κερδίσει 4 χρυσά μετάλλια, με το πιο πρόσφατο να είναι το 2022. Η προέλευση του προβλήματος από τέτοιους αναγνωρισμένους μαθηματικούς ταλέντα, εξηγεί εν μέρει την υψηλή δυσκολία και την κομψότητά του..png)
.png)
Πρόβλημα 6
Έστω $ABC$ ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Έστω $A_1,B_1,C_1$ σημεία στο εσωτερικό του $ABC$ τέτοια ώστε
$BA_1=A_1C, CB_1=B_1A, AC_1=C_1B$,
και
$∠BA_1C+∠CB_1A+∠AC_1B=480∘$.
Έστω ότι η $BC_1$ και η $CB_1$ τέμνονται στο $A_2$, η $CA_1$ και η $AC_1$ τέμνονται στο $B_2$, και η $AB_1$ και η $BA_1$ τέμνονται στο $C_2$.
Αποδείξτε ότι αν το τρίγωνο $A_1B_1C_1$ είναι σκαληνό, τότε οι τρεις περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ και $CC_1C_2$ διέρχονται όλοι από δύο κοινά σημεία.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου