Η Προσέγγιση του Kochański για το π – Μια Εντυπωσιακή Γεωμετρική Κατασκευή

Η κατασκευή του Kochański

Ο Πολωνός Ιησουίτης ιερέας και μαθηματικός Adam Kochański (1631–1700) παρουσίασε μια γεωμετρική προσέγγιση του αριθμού π που δίνει τιμή:

$$\pi \approx \sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}\approx \mathrm{3.141533....}$$

Αυτό προσεγγίζει το π με ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων, καθώς:

$$\pi \approx 3.14159265\dots \text{ενώ }\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}\approx \mathrm{3.141533...}$$

Η γεωμετρική κατασκευή

1. Θεωρούμε μονάδα μήκους $OA=A\mathrm{\Phi }=1$.

2. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το σημείο $A=(0,0)$ και ακτίνα 1. Αυτός τέμνει την κατακόρυφη ευθεία που περνά από το Ο στο σημείο $B = (-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2})$.

3. Κατασκευάζουμε δεύτερο κύκλο με κέντρο στο $\mathrm{\Phi }=(0,1)$ και ακτίνα 1. Οι δύο κύκλοι τέμνονται στο σημείο:

   $$C=(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$$

4. Η ευθεία $CO$ τέμνει τον άξονα $x$ στο σημείο:

   $$D=(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$$

5. Πάνω στον άξονα $x$, από το σημείο D, απομετράται μήκος 3 προς τα δεξιά. Το τελικό σημείο ονομάζεται $E$:

   $$E=(3-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$$

6. Το ευθύγραμμο τμήμα $EΦ$ έχει μήκος:

   $$\mathrm{\mid }E\mathrm{\Phi }\mathrm{\mid }=\sqrt{{(3-\frac{\sqrt{3}}{3})}^2+1^2}=\sqrt{\frac{40}{3}-2}$$

Η παραπάνω τιμή αποτελεί μια εξαιρετικά καλή προσέγγιση του π με γεωμετρικό τρόπο.

---

Ιστορικό Σχόλιο

Η κατασκευή αυτή δημοσιεύτηκε από τον Kochański το 1685 και αποτελεί ένα από τα πλέον γνωστά παραδείγματα "προσέγγισης του κύκλου" στην κλασική γεωμετρία, σε μια εποχή όπου η τετραγωνιζόμενη του κύκλου με κανόνα και διαβήτη είχε πλέον αποδειχθεί ανέφικτη (αφού το π είναι υπερβατικός αριθμός, κάτι που αποδείχθηκε πολύ αργότερα, το 1882).