Το Θεώρημα Τεσσάρων Τετραγώνων του Lagrange

Το Θεώρημα Τεσσάρων Τετραγώνων, που αποδείχθηκε από τον Joseph-Louis Lagrange το 1770, δηλώνει ότι:

Κάθε μη αρνητικός ακέραιος μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων ακέραιων αριθμών.

Με άλλα λόγια, για κάθε ακέραιο $n \ge 0$, υπάρχουν ακέραιοι $a, b, c, d$ τέτοιοι ώστε:

$$n=a^2+b^2+c^2+d^2$$

🔹 Ακόμη και το μηδέν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, δηλαδή τα

τετράγωνα μπορούν να είναι μηδενικά.

📌 Παραδείγματα:

• $7 = 4 + 1 + 1 + 1 = 2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2$
  

• $23 = 16 + 4 + 1 + 1 = 4^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2$
  

• $100 = 100 + 0 + 0 + 0 = 10^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2$
  

• $0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2$
  

Η ιδέα ότι τέτοια διάσπαση είναι πάντα δυνατή ανεξαρτήτως του πόσο μεγάλος είναι ο αριθμός, είναι εντυπωσιακή και δείχνει τη δύναμη της αριθμητικής θεωρίας.

🧠 Ιστορικό Σημείωμα:

Η εικασία ότι κάθε αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τετραγώνων είχε ήδη διατυπωθεί νωρίτερα από μαθηματικούς όπως ο Φερμά, αλλά ο πρώτος που έδωσε πλήρη απόδειξη ήταν ο Λαγκράνζ, στα 1770.

Αυτό το θεώρημα αποτελεί θεμέλιο για τη θεωρία των μορφών, και συνδέεται με πιο γενικές θεωρήσεις όπως το πρόβλημα των Waring, όπου ερευνάται κατά πόσο οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα k δυνάμεων.