🔢 Η Ακολουθία "Κοίτα και Πες" (Look-and-say sequence)

Ποιο είναι το μεγαλύτερο ψηφίο που θα εμφανιστεί ποτέ στους όρους της παρακάτω ακολουθίας;

---

🔍 Η Ακολουθία

Η ακολουθία ξεκινά ως εξής:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …

Αναγνωρίζετε το μοτίβο;

Η λογική πίσω από αυτή την ακολουθία είναι απλή αλλά πρωτότυπη:

Κάθε όρος περιγράφει τον προηγούμενο.

Γι' αυτό και ονομάζεται "Look-and-say sequence" – δηλαδή "Κοίτα και Πες".

Ας δούμε πώς λειτουργεί βήμα-βήμα:

• Ο 1ος όρος είναι: 1

• Τον "περιγράφουμε": ένα 1 → 11

• Ο 2ος όρος είναι: 11 → δύο 1 → 21

• Ο 3ος όρος είναι: 21 → ένας 2, ένας 1 → 1211

• Ο 4ος όρος είναι: 1211 → ένας 1, ένας 2, δύο 1 → 111221

• Ο 5ος όρος: 111221 → τρία 1, δύο 2, ένα 1 → 312211

• Και ούτω καθεξής…

---

🧠 Το Αινιγματικό Ερώτημα

Όσο συνεχίζουμε την ακολουθία, κάποιος μπορεί να υποθέσει ότι θα αρχίσουν να εμφανίζονται όλο και μεγαλύτερα ψηφία, όπως το 4, 5, 6, … ή ακόμη και το 9.

Αλλά αυτό δεν συμβαίνει ποτέ!

---

📏 Η Απάντηση

Το μεγαλύτερο ψηφίο που εμφανίζεται ποτέ στην ακολουθία "Look-and-say" είναι το 3.

Γιατί;

Ο μεγάλος μαθηματικός John Conway μελέτησε διεξοδικά την ακολουθία αυτή και απέδειξε ότι μετά από έναν αριθμό όρων, η ακολουθία σταθεροποιείται σε "στοιχειώδεις φράσεις" (atoms) οι οποίες περιέχουν μόνο τα ψηφία 1, 2 και 3.

Ποτέ δεν προκύπτει η ανάγκη να πούμε "τέσσερα" (4) από κάτι, διότι οι ομαδοποιήσεις των ίδιων ψηφίων σπάνε σε μικρότερες μονάδες πριν φτάσουν να εμφανιστούν τέσσερα ίδια στη σειρά.

👉 Δηλαδή, ούτε το 4, ούτε το 5, ούτε κανένα άλλο ψηφίο μεγαλύτερο του 3 δεν εμφανίζεται ποτέ.

---

📚 Ένα ιστορικό σχόλιο

Ο Conway ανέπτυξε την έννοια των "Conway cosmology atoms", μια θεωρία για το πώς η ακολουθία αναπτύσσεται με μαθηματική ακρίβεια, χρησιμοποιώντας 92 μοναδικές "λέξεις" που χτίζουν την ακολουθία και περιέχουν μόνο τα ψηφία 1, 2 και 3.