Ποιο είναι το μεγαλύτερο ψηφίο που θα εμφανιστεί ποτέ στους όρους της παρακάτω ακολουθίας;
🔍 Η Ακολουθία
Η ακολουθία ξεκινά ως εξής:
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …
Αναγνωρίζετε το μοτίβο;
Η λογική πίσω από αυτή την ακολουθία είναι απλή αλλά πρωτότυπη:
Γι' αυτό και ονομάζεται "Look-and-say sequence" – δηλαδή "Κοίτα και Πες".
Ας δούμε πώς λειτουργεί βήμα-βήμα:
-
Ο 1ος όρος είναι: 1
-
Τον "περιγράφουμε": ένα 1 → 11
-
Ο 2ος όρος είναι: 11 → δύο 1 → 21
-
Ο 3ος όρος είναι: 21 → ένας 2, ένας 1 → 1211
-
Ο 4ος όρος είναι: 1211 → ένας 1, ένας 2, δύο 1 → 111221
-
Ο 5ος όρος: 111221 → τρία 1, δύο 2, ένα 1 → 312211
-
Και ούτω καθεξής…
🧠 Το Αινιγματικό Ερώτημα
Όσο συνεχίζουμε την ακολουθία, κάποιος μπορεί να υποθέσει ότι θα αρχίσουν να εμφανίζονται όλο και μεγαλύτερα ψηφία, όπως το 4, 5, 6, … ή ακόμη και το 9.
Αλλά αυτό δεν συμβαίνει ποτέ!
📏 Η Απάντηση
Το μεγαλύτερο ψηφίο που εμφανίζεται ποτέ στην ακολουθία "Look-and-say" είναι το 3.
Γιατί;
Ο μεγάλος μαθηματικός John Conway μελέτησε διεξοδικά την ακολουθία αυτή και απέδειξε ότι μετά από έναν αριθμό όρων, η ακολουθία σταθεροποιείται σε "στοιχειώδεις φράσεις" (atoms) οι οποίες περιέχουν μόνο τα ψηφία 1, 2 και 3.
Ποτέ δεν προκύπτει η ανάγκη να πούμε "τέσσερα" (4) από κάτι, διότι οι ομαδοποιήσεις των ίδιων ψηφίων σπάνε σε μικρότερες μονάδες πριν φτάσουν να εμφανιστούν τέσσερα ίδια στη σειρά.
👉 Δηλαδή, ούτε το 4, ούτε το 5, ούτε κανένα άλλο ψηφίο μεγαλύτερο του 3 δεν εμφανίζεται ποτέ.
📚 Ένα ιστορικό σχόλιο
Ο Conway ανέπτυξε την έννοια των "Conway cosmology atoms", μια θεωρία για το πώς η ακολουθία αναπτύσσεται με μαθηματική ακρίβεια, χρησιμοποιώντας 92 μοναδικές "λέξεις" που χτίζουν την ακολουθία και περιέχουν μόνο τα ψηφία 1, 2 και 3.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου