📐 Απόδειξη χωρίς λόγια – Η ανισότητα RMS–AM–GM

Η εικόνα αποτυπώνει με εξαιρετική σαφήνεια την διπλή ανισότητα μεταξύ των τριών μέσων όρων για δύο θετικούς αριθμούς a και b: \[\color{red}{ab}\le\color{green}{\frac{(a + b)^2}{4}}\le\color{blue}{\frac{a^2 + b^2}{2}}\]

🔍 Τι σημαίνει αυτό:

• 🔴 O γεωμετρικός μέσος ab είναι το μικρότερος.
• 🟢 Ο αριθμητικός μέσος τετραγωνισμένος $\dfrac{(a+b)^2}{4}$ είναι ενδιάμεσος.
• 🔵 Ο τετραγωνικός μέσος (root-mean square) $\dfrac{a^2 + b^2}{2}$ είναι ο μεγαλύτερος.

🖼️ Η γεωμετρική ερμηνεία:

Η εικόνα δείχνει:

• Ένα κόκκινο ορθογώνιο με εμβαδόν ab
• Ένα πράσινο τετράγωνο με πλευρά $\dfrac{a+b}{2}$
• Δύο μπλε περιοχές που αντιστοιχούν στα $\dfrac{a^2}{2}$ και $\dfrac{b^2}{2}$

Η διάταξη των σχημάτων αποδεικνύει οπτικά την ανισότητα, χωρίς λέξεις—μια κομψή «σιωπηλή» απόδειξη.