Το Παράδοξο του Russell: Όταν ένα Σύνολο Αναρωτιέται αν Περιέχει τον Εαυτό του

Ο φιλόσοφος και μαθηματικός Bertrand Russell άλλαξε για πάντα τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε τα μαθηματικά θεμέλια. Στις αρχές του 20ού αιώνα, εντόπισε μία θεμελιώδη αντίφαση στη θεωρία συνόλων, γνωστή σήμερα ως Παράδοξο του Russell.

Ας δούμε τον ορισμό ενός «περίεργου» συνόλου:

$$A=\{X\mid X\text{ είναι σύνολο και }X\mathrm{\notin }X\}$$Δηλαδή, το σύνολο A περιέχει όλα τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους.

Παραδείγματα:

• Το σύνολο των ακεραίων $\mathbb{Z}$ δεν είναι στοιχείο του εαυτού του, άρα: $\mathbb{Z} \in A$
  

• Το κενό σύνολο $\emptyset$ επίσης δεν περιέχει τον εαυτό του ⇒$\emptyset \in A$
  

Αντιπαραδείγματα:

• Ας φανταστούμε το σύνολο $B = \{ B \}$, δηλαδή το μοναδικό του στοιχείο είναι ο εαυτός του.
  Εδώ: $B \in B$, άρα δεν ανήκει στο $A$:
  $B\mathrm{\notin }A$

Και τώρα το κρίσιμο ερώτημα:

Το ίδιο το σύνολο $A$ ανήκει στον εαυτό του;

• Αν ναι: τότε, σύμφωνα με τον ορισμό, δεν πρέπει να ανήκει στον εαυτό του ⇒ αντίφαση

• Αν όχι: τότε πρέπει να ανήκει στον εαυτό του ⇒ ξανά αντίφαση

📌 Αυτή η λογική θηλιά έδειξε ότι δεν μπορούμε να ορίσουμε «το σύνολο όλων των συνόλων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους» χωρίς να καταλήξουμε σε παραλογισμό.

Το Παράδοξο του Russell ανέδειξε την ανάγκη για πιο αυστηρές θεμελιώσεις των μαθηματικών. Οδήγησε στη διαμόρφωση της Θεωρίας Συνόλων Zermelo–Fraenkel (ZF), η οποία αποφεύγει τέτοιες αυτοαναφορικές παγίδες μέσω περιορισμών στο πώς ορίζονται τα σύνολα.