Simon’s Favorite Factoring Trick (SFFT)

Το Simon’s Favorite Factoring Trick (SFFT) είναι ένα κλασικό τέχνασμα που χρησιμοποιείται σε διαγωνιστικά μαθηματικά και προβλήματα Θεωρίας Αριθμών για την εύρεση ακέραιων λύσεων σε εξισώσεις τύπου Διοφαντικών.

🔹 Πότε χρησιμοποιείται;

Το SFFT εφαρμόζεται σε εξισώσεις της μορφής:

$$xy+jx+ky=a$$

όπου $x$ και $y$ είναι άγνωστοι ακέραιοι, ενώ $j, k, a$ είναι γνωστές σταθερές.

Η ιδέα είναι να μετατρέψουμε το αριστερό μέλος σε γινόμενο, προσθέτοντας ένα κατάλληλο σταθερό όρο.

---

🔹 Το κόλπο βήμα-βήμα

1. Ξεκινάμε με την εξίσωση:

   $$xy+jx+ky=a$$

2. Προσθέτουμε τον όρο $jk$ και στα δύο μέλη:

   $$xy+jx+ky+jk=a+jk$$

3. Παραγοντοποιούμε το αριστερό μέλος:

   $$(x+k)(y+j)=a+jk$$

4. Βρίσκουμε τα ακέραια ζεύγη παραγόντων του $a + jk$ και από αυτά υπολογίζουμε τις τιμές των $x$ και $y$.

---

🔹 Παράδειγμα

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$$xy + 9x + 9y = 86$$

Λύση με SFFT:

1. Προσθέτουμε $9 \cdot 9 = 81$:

   $$xy+9x+9y+81=86+81$$

2. Παίρνουμε:

   $$(x+9)(y+9)=167$$

3. Ο αριθμός 167 είναι πρώτος, άρα οι παραγοντικοί συνδυασμοί είναι:

   $$(1,167),(167,1),(-1,-167),(-167,-1)$$

4. Προκύπτουν οι λύσεις:

   $$(x,y)=(-8,158),(158,-8),(-10,-176),(-176,-10)$$

---

🔹 Γιατί δουλεύει;

Το SFFT είναι ουσιαστικά ολοκλήρωση ορθογωνίου, παρόμοιο με την ολοκλήρωση τετραγώνου.

Προσθέτουμε ένα σταθερό όρο για να μπορέσουμε να παραγοντοποιήσουμε, κάτι που κάνει τη λύση των Διοφαντικών εξισώσεων πολύ πιο εύκολη.