Υπολογισμός του υπολοίπου του γινομένου 9⋅99⋅999⋯ modulo 1000

Να βρείτε το υπόλοιπο όταν 

$9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{99\ldots9}_{999\text{ εννιάρια}}$

διαιρείται με 1000.

Λύση

Παρατηρούμε ότι για κάθε ακέραιο με τουλάχιστον τρια εννιάρια ισχύει:

$$999 \equiv 9999 \equiv \dots \equiv \underbrace{99\ldots9}_{999 \text{ εννιάρια}} \equiv -1 \pmod{1000}.$$

Στο γινόμενο υπάρχουν:

• το $9$ (1 ψηφίο),

• το $99$ (2 ψηφία),

• και στη συνέχεια $999, 9999, \dots, \underbrace{99\ldots9}_{999}$ με 997 όρους που έχουν τουλάχιστον 3 εννιάρια.

Άρα το γινόμενο γράφεται:

$$9 \times 99 \times (-1)^{997} \pmod{1000}.$$

Επειδή $997$ είναι περιττός αριθμός:

$$(-1)^{997} = -1,$$

οπότε

$$9 \times 99 \times (-1) \equiv -891 \pmod{1000}.$$

Μετατρέπουμε το αρνητικό υπόλοιπο σε θετικό προσθέτοντας $1000$:

$$-891 + 1000 = 109.$$

Άρα το ζητούμενο υπόλοιπο είναι

$$\boxed{{\displaystyle 109}}\mathrm{.}$$