Πολυώνυμο 17ου βαθμού με ρίζες στο μιγαδικό επίπεδο ✨

Στην ανάρτηση αυτή εξετάζουμε ένα πολυώνυμο 17ου βαθμού της μορφής:

$$P(x)=x^{17}+A(t_2)x^{10}-50x^7+B(t_1)x^3+5i,$$

όπου οι παράμετροι $t_1$ και $t_2$ είναι μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1, δηλαδή
$|t_1| = |t_2| = 1$.

Οι συναρτήσεις $A(t_2)$ και $B(t_1)$ έχουν πολύπλοκη αλγεβρική μορφή, καθώς εξαρτώνται από διάφορες δυνάμεις των $t_1$ και $t_2$.

---

Βασικά χαρακτηριστικά

• Το πολυώνυμο διαθέτει 17 ρίζες (με πιθανές πολλαπλότητες).

• Σύμφωνα με το Θεώρημα του Vieta, το γινόμενο όλων των ριζών είναι:

  $$\prod _{k=1}^{17}{r}_k=(-1{)}^{17}\cdot 5i=-5i\mathrm{.}$$

• Οι συμμετρικές συναρτήσεις των ριζών έως τον 6ο βαθμό είναι μηδέν, κάτι που υποδεικνύει μια ιδιαίτερη εσωτερική συμμετρία στη διάταξή τους.

---

Ο ρόλος του μοναδιαίου κύκλου

Οι παράμετροι $t_1$ και $t_2$ βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο $|z|=1$.

Αυτό προσδίδει στο πολυώνυμο μια κυκλική γεωμετρία: οι ρίζες, αν και δεν τοποθετούνται απαραίτητα πάνω στον κύκλο, οργανώνονται γύρω από αυτόν, σχηματίζοντας δομές που σχετίζονται με συμμετρίες του μιγαδικού επιπέδου.

---

Αριθμητικός υπολογισμός ριζών

Για παράδειγμα, αν επιλέξουμε:

$${\varphi }_1=\frac{\pi }{4},{\varphi }_2=\frac{\pi }{3},$$

και θέσουμε $t_1 = e^{i\phi_1}$, $t_2 = e^{i\phi_2}$, τότε οι ρίζες του πολυωνύμου μπορούν να υπολογιστούν αριθμητικά και κατανέμονται στο μιγαδικό επίπεδο με τρόπο που αντανακλά τη συμμετρία που επιβάλλουν τα $t_1$ και $t_2$.

---

Το σταθερό μέλος και το γινόμενο των ριζών

Το σταθερό μέλος $5i$ καθορίζει άμεσα, μέσω του θεωρήματος του Vieta, ότι το γινόμενο των ριζών είναι πάντα:

$$\prod r_k=-5i,$$

ανεξάρτητα από τις τιμές των $t_1$ και $t_2$. Η δύναμη $(-1)^{17}$ αλλάζει το πρόσημο λόγω του περιττού βαθμού.