A Problem with Partitions – Μπορούμε πάντα να χωρίζουμε σύνολα “δίκαια”; 🧩

Ας ορίσουμε το σύνολο:

$$S_n=\{1,2,3,\dots ,n\}$$

Για παράδειγμα:

• $S_1 = \{1\}$
  

• $S_2 = \{1,2\}$
  

• $S_3 = \{1,2,3\}$, κ.ο.κ.

Το Ερώτημα 🎯

Για ποιες τιμές του $n$ μπορούμε να χωρίσουμε το σύνολο $S_n$ σε δύο υποσύνολα με τέτοιο τρόπο ώστε τα αθροίσματα των στοιχείων τους να είναι ίσα;

---

Hint από τον Γκάους 🧠

Θυμήσου την ιστορία του Carl Friedrich Gauss. Όταν ήταν παιδί, ο δάσκαλός του ζήτησε από την τάξη να υπολογίσει:

$$1+2+3+\cdots +100$$

Ο Γκάους το βρήκε σε λίγα δευτερόλεπτα!
Η ιδέα του:

$$1+100=101,2+99=101,3+98=101,\dots$$

Υπάρχουν 50 τέτοια ζεύγη →

$$\sum _{k=1}^{100}k=50\times 101=5050$$

Η ίδια ιδέα μπορεί να σε βοηθήσει να καταλάβεις πότε είναι δυνατόν να χωρίσουμε το $S_n$ σε δύο υποσύνολα με ίσο άθροισμα. 😉

---

Ο Γρίφος 🧩

1. Βρες έναν τύπο για το άθροισμα:

   $$T_n=1+2+\cdots +n$$

2. Για ποιες τιμές του $n$ είναι το $T_n$ άρτιος;

3. Μπορείς να βρεις ένα παράδειγμα για το πώς χωρίζεις το $S_7$ σε δύο υποσύνολα με ίσο άθροισμα;

4. Γιατί το $S_3$ δεν μπορεί να χωριστεί έτσι;