Umbral Calculus και τα Πολυώνυμα Abel

Τα πολυώνυμα Abel είναι μια ακολουθία πολυωνύμων που πήρε το όνομά της από τον Niels Henrik Abel και ορίζεται από την εξίσωση:

$$ p_n(x) = x(x - a n)^{n-1} $$

Αυτή η πολυωνυμική ακολουθία είναι διωνυμικού τύπου. Αντίστροφα, κάθε πολυωνυμική ακολουθία διωνυμικού τύπου μπορεί να παραχθεί από τα πολυώνυμα Abel μέσω του ομβρικού λογισμού (umbral calculus).

Παραδείγματα

Για a = 1

• $$ p_0(x) = 1 $$
• $$ p_1(x) = x $$
• $$ p_2(x) = -2x + x^2 $$
• $$ p_3(x) = 9x - 6x^2 + x^3 $$
• $$ p_4(x) = -64x + 48x^2 - 12x^3 + x^4 $$

Για a = 2

• $$ p_0(x) = 1 $$
• $$ p_1(x) = x $$
• $$ p_2(x) = -4x + x^2 $$
• $$ p_3(x) = 36x - 12x^2 + x^3 $$
• $$ p_4(x) = -512x + 192x^2 - 24x^3 + x^4 $$
• $$ p_5(x) = 10000x - 4000x^2 + 600x^3 - 40x^4 + x^5 $$
• $$ p_6(x) = -248832x + 103680x^2 - 17280x^3 + 1440x^4 - 60x^5 + x^6 $$

Τι είναι ο Ομβρικός Λογισμός

Ο ομβρικός λογισμός είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιεί "ομβρικές μεταβλητές" (umbral variables) - σύμβολα που μπορούν να αντικαθίστανται με διάφορες μαθηματικές οντότητες (αριθμούς, τελεστές, κλπ).

Πώς Συνδέεται με τα Abel

1. Διωνυμικός Τύπος: Τα πολυώνυμα Abel έχουν τη μορφή διωνυμικών εκθέσεων, που είναι βασικό στοιχείο του ομβρικού λογισμού.
2. Γεννήτρια Συνάρτηση: Μπορούμε να γράψουμε: $$\sum_{n=0}^{\infty} p_n(x) \frac{t^n}{n!} = e^{xt} \cdot e^{-at \cdot t}$$
3. Ομβρικός Χειρισμός: Με ομβρικές τεχνικές, μπορούμε να:
   • Παράγουμε νέες πολυωνυμικές ακολουθίες από τις Abel
   • Βρίσκουμε σχέσεις αναδρομής
   • Υπολογίζουμε συντελεστές πιο εύκολα
4. Αντιστροφή: Kάθε διωνυμική ακολουθία μπορεί να εκφραστεί μέσω Abel πολυωνύμων χρησιμοποιώντας ομβρικούς μετασχηματισμούς.