AM–GM στη δράση: Από τη βασική ανισότητα σε ένα πρόβλημα USAMO (2004/5)

Η ανισότητα AM–GM λέει ότι για κάθε μη αρνητικούς πραγματικούς $x_1,\dots,x_n$ ισχύει:

με ισότητα, αν και μόνο αν, $x_1=\cdots=x_n$. Υπάρχει και η σταθμισμένη μορφή: για μη αρνητικούς $x_i$ και βάρη $w_i\ge 0$ με $\sum w_i=1$,

$$w_1{x}_1+\cdots +w_n{x}_n\ge x_1^{w_1}\cdots x_n^{w_n},$$

πάλι με ισότητα όταν όλα τα $x_i$ είναι ίσα (στις κατάλληλες αναλογίες). Η AM–GM αποτελεί βασικό εργαλείο σε ανισότητες διαγωνισμών και αποδεικνύεται με διάφορους τρόπους (π.χ. συναρτησιακά μέσω Jensen ή με επαγωγή).

(USAMO 2004/5 – εφαρμογή AM–GM)

Για $a,b,c>0$, αποδείξτε ότι

$$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\ge (a+b+c{)}^3\mathrm{.}$$