Η Υπόθεση του Bertrand και το Θεώρημα Chebyshev

Το 1845, ο Joseph Bertrand διατύπωσε μια ενδιαφέρουσα υπόθεση σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών, γνωστή ως Υπόθεση του Bertrand (Bertrand’s Postulate).

Πέντε χρόνια αργότερα, το 1850, ο Pafnuty Chebyshev έδωσε την πρώτη αυστηρή απόδειξη, και από τότε το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό και ως Θεώρημα Bertrand–Chebyshev.

Η διατύπωση είναι απλή:

Θεώρημα (Bertrand’s Postulate)
Για κάθε ακέραιο $n>3$, υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός $p$ τέτοιος ώστε:

$$n<p<2n-2.$$

Πρόκειται για ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στη θεωρία αριθμών, καθώς μας εγγυάται ότι ανάμεσα σε κάθε αριθμό n και στο διπλάσιό του υπάρχει πάντοτε τουλάχιστον ένας πρώτος.

Σημασία:

Αυτό το θεώρημα διασφαλίζει ότι οι πρώτοι αριθμοί δεν «απομακρύνονται» υπερβολικά ο ένας από τον άλλο, διατηρώντας πάντα έναν πρώτο «ανάχωμα» στο διάστημα από n μέχρι 2n, για κάθε μεγάλο n. Πρόκειται για μια θεμελιώδη ιδιότητα της κατανομής των πρώτων αριθμών, η οποία χρησιμοποιείται σε πολλούς κλάδους της αριθμητικής και της θεωρίας αριθμών.