Διπλασιάζοντας τον Κύβο: Το Ακατόρθωτο με Κανόνα και Διαβήτη

Δεν υπάρχει κατασκευή με κανόνα και διαβήτη που να επιτρέπει την κατασκευή ενός κύβου, του οποίου ο όγκος είναι διπλάσιος από αυτόν ενός δεδομένου κύβου.

Απόδειξη:
Ας υποθέσουμε ότι αυτό είναι δυνατό.
Αν έχουμε έναν κύβο ακμής $a$, ο όγκος του είναι $a^3$.

Ο διπλάσιος όγκος θα είναι $2a^3$.
Η ακμή του νέου κύβου θα είναι:

$$a\sqrt[3]{2}\mathrm{.}$$

Αν θεωρήσουμε $a=\mathrm{1,\; \eta \; \nu έ\alpha \; \alpha \kappa \mu ή\; \epsilon ί\nu \alpha \iota }$$\sqrt[3]{2}$

Αλλά ο αριθμός $\sqrt[3]{2}$ είναι αλγεβρικός βαθμού 3, και είναι γνωστό ότι με κανόνα και διαβήτη μπορούμε να κατασκευάσουμε μόνο μήκη που είναι αλγεβρικοί αριθμοί βαθμού που είναι δύναμη του 2.
Επειδή το $3$ δεν είναι δύναμη του $2$, η κατασκευή είναι αδύνατη.