Η τρομπέτα του Τοριτσέλι και το παράδοξο του ζωγράφου

Ο Evangelista Torricelli (μαθητής του Γαλιλαίου και εφευρέτης του βαρομέτρου) ανακάλυψε μια εντυπωσιακή γεωμετρική επιφάνεια, γνωστή ως Τρομπέτα του Torricelli (Gabriel's horn) ή Κέρας του Γαβριήλ.

Η Τρομπέτα του Torricelli

Η επιφάνεια προκύπτει όταν η καμπύλη

$$y = \frac{1}{x}, \quad x \geq 1$$

στρέφεται γύρω από τον άξονα x.

🔹 Ο όγκος που περικλείεται:

$$V = \pi \int_1^\infty \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx = \pi$$

δηλαδή πεπερασμένος.

🔹 Η επιφάνεια, όμως, είναι:

$$A = 2\int_1^\infty \frac{1}{x}\, dx = \infty$$

δηλαδή άπειρη.

Έτσι, έχουμε μια καμπύλη που περικλείει πεπερασμένο όγκο αλλά άπειρη επιφάνεια!

---

Gabriel’s Wedding Cake

Αν αντί για τη συνεχή συνάρτηση χρησιμοποιήσουμε τη βαθμωτή:

$$y = \frac{1}{[x]}$$προκύπτει μια επιφάνεια σαν γαμήλια τούρτα με άπειρα επίπεδα.

• Ο όγκος υπολογίζεται με το άθροισμα του Basel Problem (Euler, 1734):

$$V = \pi \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^3}{6}$$πεπερασμένος.

• Η επιφάνεια, όμως, περιέχει το άθροισμα της αρμονικής σειράς:

$$S = 2\pi \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty$$άπειρη.

Έτσι, οι καλεσμένοι μπορούν να φάνε την τούρτα… αλλά το «γλάσο» δεν τελειώνει ποτέ!

---

Ο Παράδοξος Ζωγράφος (Painter’s Paradox)

Αν γεμίσουμε την τρομπέτα με μπογιά, απαιτούνται περίπου 3.000 λίτρα. Αυτό αρκεί για να γεμίσει τον όγκο της. Όμως, η ίδια μπογιά φαίνεται να καλύπτει μια άπειρη εσωτερική επιφάνεια.

Αυτό είναι το περίφημο Παράδοξο του Ζωγράφου:

• Πεπερασμένος όγκος.

• Άπειρη επιφάνεια.

• Και όμως, η επιφάνεια καλύπτεται!

---

Μαθηματική εξήγηση

Η λύση βρίσκεται στην έννοια του πάχους. Αν η στρώση μπογιάς είναι απειροελάχιστη, τότε μια πεπερασμένη ποσότητα μπογιάς μπορεί να απλωθεί σε μια άπειρη περιοχή.

Παράδειγμα:
Αν βάψουμε μια άπειρη σειρά πλακιδίων, όπου το πάχος της μπογιάς μειώνεται όπως

$$\frac{1}{n^2}$$

τότε το συνολικό χρώμα είναι:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6},$$

δηλαδή πεπερασμένο.

---

📌 Συμπέρασμα: Το έργο του Torricelli αναδεικνύει την εκπληκτική δύναμη του λογισμού και τη φιλοσοφική πρόκληση του «άπειρου». Ένα σχήμα με πεπερασμένο όγκο και άπειρη επιφάνεια παραμένει μέχρι σήμερα παράδειγμα που συνδυάζει μαθηματική κομψότητα με φιλοσοφικό προβληματισμό.