Υπολογισμός Μήκους Τόξου: Από το Στοιχειώδες Μήκος στο Ολοκλήρωμα

Το μήκος τόξου μετρά το ακριβές μήκος ενός τμήματος καμπύλης. Η βασική ιδέα προέρχεται από την προσέγγιση της καμπύλης με πολύ μικρά ευθύγραμμα τμήματα. Όσο τα τμήματα γίνονται μικρότερα, το άθροισμα των μηκών τους προσεγγίζει ένα όριο, το οποίο εκφράζεται μέσω ενός ολοκληρώματος.

Από το στοιχειώδες μήκος στο ολοκλήρωμα

Το στοιχειώδες μήκος $ds$ δίνεται από τη σχέση:

$$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}\mathrm{.}$$

Από αυτόν τον τύπο προκύπτουν τρεις βασικές μορφές ανάλογα με τον τρόπο που περιγράφεται η καμπύλη.

---

1. Καρτεσιανή Αναπαράσταση

Για καμπύλη $y = f(x)$ με $x \in [a,b]$:

$$S={\int }_a^b\sqrt{1+{(f^{\mathrm{\prime }}(x))}^2}dx\mathrm{.}$$

---

2. Παραμετρική Αναπαράσταση

Για παραμετρική καμπύλη $\big(x(t), y(t)\big)$, με $t \in [\alpha,\beta]$:

$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{(x^{\mathrm{\prime }}(t))}^2+{(y^{\mathrm{\prime }}(t))}^2}dt\mathrm{.}$$

---

3. Πολικές Συντεταγμένες

Για καμπύλη $r = r(\theta)$, με $\theta \in [\theta_1,\theta_2]$:

$$S = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r(\theta)^2 + \left(r'(\theta)\right)^2}\, d\theta.$$

Προϋποθέσεις Ομαλότητας

Για να υπάρχει το ολοκλήρωμα, απαιτείται επαρκής ομαλότητα της καμπύλης:

• Στην καρτεσιανή μορφή αρκεί $f \in C^1([a,b])$, ώστε η $\sqrt{1+(f')^2}$ να είναι συνεχής και ολοκληρώσιμη.

• Στις παραμετρικές και πολικές μορφές, οι παράγωγοι που εμφανίζονται υπό ρίζα πρέπει να είναι συνεχείς στο αντίστοιχο διάστημα.

Σημείωση: Σε πολλές καμπύλες δεν υπάρχει κλειστή μορφή για το ολοκλήρωμα, και τότε εφαρμόζονται αριθμητικές μέθοδοι.

---

Πρακτική Διαδικασία Υπολογισμού

1. Επιλέγουμε την πιο βολική αναπαράσταση της καμπύλης.

2. Υπολογίζουμε τις απαιτούμενες παραγώγους.

3. Συντάσσουμε το ολοκλήρωμα μήκους.

4. Απλοποιούμε όπου είναι δυνατόν με αλγεβρικούς ή τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς.

5. Χρησιμοποιούμε αριθμητική ολοκλήρωση όταν δεν υπάρχει στοιχειώδης παράγουσα.

---

Παρατηρήσεις και Σημεία Προσοχής

• Η ρίζα $\sqrt{1+(f')^2}$ δεν παραλείπεται — αποτελεί τον πυρήνα της γεωμετρικής απόστασης.

• Όταν αλλάζουμε αναπαράσταση (π.χ. από καρτεσιανή σε πολική), δεν αναμιγνύουμε μεταβλητές χωρίς πλήρη αλλαγή μεταβλητής.

• Ιδιαίτερη προσοχή στα άκρα των διαστημάτων, όπου μπορεί να υπάρχουν γωνίες ή ασυνέχειες της παραγώγου.

Παράδειγμα Υπολογισμού Μήκους Τόξου

Πρόβλημα:
Να υπολογιστεί το μήκος τόξου της καμπύλης

$$y=\frac{x^2}{2},x\in [0,2]\mathrm{.}$$

---

Λύση

1. Βρίσκουμε την παράγωγο

   $$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{dy}{dx}=x\mathrm{.}$$

2. Εφαρμόζουμε τον τύπο του μήκους τόξου
   Για καρτεσιανή καμπύλη $y=f(x)$:

   $$S={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\mathrm{\prime }}(x){)}^2}dx\mathrm{.}$$

   Άρα:

   $$S={\int }_0^2\sqrt{1+x^2}dx\mathrm{.}$$

3. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα
   Θέτουμε:

   $$x = \sinh u \implies dx = \cosh u \, du.$$

   Τότε:

   $$S = \int \sqrt{1+\sinh^2 u}\,\cosh u \, du = \int \cosh^2 u \, du = \int \frac{1+\cosh 2u}{2}\,du.$$

   Έτσι:

   $$S=\frac{u}{2}+\frac{\sinh 2u}{4}+C\mathrm{.}$$

4. Επαναφέρουμε τη μεταβλητή $x$
   Εφόσον $x=\sinh u$, έχουμε $u=\operatorname{arsinh}x$, ενώ $\sinh 2u = 2\sinh u \cosh u = 2x\sqrt{1+x^2}$.
   Επομένως:

   $$S=\frac{\mathrm{arsinh}x}{2}+\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}\mathrm{.}$$

5. Εφαρμόζουμε τα όρια ολοκλήρωσης

   $$S=\frac{1}{2}[x\sqrt{1+x^2}+\mathrm{arsinh}x{]}_0^2\mathrm{.}$$

   Για $x=2$:

   $$2\sqrt{1+2^2} = 2\sqrt{5}, \quad \operatorname{arsinh}2 = \ln\big(2 + \sqrt{5}\big).$$

   Άρα:

   $$S=\frac{1}{2}(2\sqrt{5}+\ln (2+\sqrt{5}\left)\right)\mathrm{.}$$

Τελικό αποτέλεσμα:

$$\boxed{{\displaystyle S=\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(2+\sqrt{5})}}$$

Ασκήσεις Εξάσκησης

Άσκηση 1.
Να υπολογιστεί το μήκος τόξου της καμπύλης

$$y=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x},x\in [1,2]\mathrm{.}$$

---

Άσκηση 2.
Να βρεθεί το μήκος τόξου της

$$y=\ln (\cos x),x\in [0,\frac{\pi }{4}]\mathrm{.}$$

---

Άσκηση 3.
Για την παραμετρική καμπύλη

$$x(t)={\cos }^{3}t,y(t)={\sin }^{3}t,t\in [0,\frac{\pi }{2}],$$

να υπολογιστεί το μήκος τόξου.

---

Άσκηση 4.
Για την πολική καμπύλη

$$r(\theta )=2\theta ,\theta \in [0,1],$$

να υπολογιστεί το μήκος τόξου.

---

Άσκηση 5.
Να στηθεί (και, όπου είναι εφικτό, να απλοποιηθεί) το ολοκλήρωμα μήκους για την καμπύλη

$$y=1-x^2,x\in [0,1]\mathrm{.}$$

---

Γλωσσάριο Σύντομων Όρων

• Μήκος τόξου: Το μήκος ενός τμήματος καμπύλης.

• Παραμετρική καμπύλη: Αναπαράσταση μέσω $(x(t),y(t))$.

• Πολικές συντεταγμένες: Καμπύλη δοσμένη ως $r=r(\theta)$.

---

Μικρή Ιστορική Σημείωση

Η έννοια του μήκους τόξου εμφανίζεται ήδη από τον Αρχιμήδη, αλλά η αυστηρή μαθηματική θεμελίωση προέκυψε αργότερα με τον Newton και τον Leibniz, οι οποίοι εισήγαγαν τον διαφορικό λογισμό και έθεσαν τις βάσεις για τον σημερινό υπολογισμό ολοκληρωμάτων.