Το Ισοπεριμετρικό Σημείο και το Σημείο Ίσης Παράκαμψης σε Ένα Τρίγωνο

Το ισοπεριμετρικό σημείο είναι το μοναδικό σημείο $P$ στο επίπεδο του τριγώνου για το οποίο ισχύει:

Τα τρίγωνα $BPC$, $CPA$ και $APB$ έχουν ίσα περιγράμματα.

Αυτό ισχύει για όλα τα οξυγώνια τρίγωνα και πολλά μη οξυγώνια.

Τριγραμμικές Συντεταγμένες

Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του ισοπεριμετρικού σημείου είναι:

$$\sec \frac{A}{2}\cdot \cos \frac{B}{2}\cdot \cos \frac{C}{2}-1:\sec \frac{B}{2}\cdot \cos \frac{C}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}-1:\sec \frac{C}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}\cdot \cos \frac{B}{2}-1$$

---

2. Σημείο Ίσης Παράκαμψης (Equal Detour Point)

Το σημείο ίσης παράκαμψης είναι το μοναδικό σημείο $Q$

 στο επίπεδο του τριγώνου για το οποίο ισχύει:

Οι τρεις παρακάμψεις από την $A$ στη $B$ μέσω του $Q$, από τη $B$ στη $C$ μέσω του $Q$ και από τη $C$ στην $A$ μέσω του $Q$ έχουν ίσα μήκη.

Η παράκαμψη από την $A$ στη $B$ μέσω του $Q$ ορίζεται ως:
$|AQ| + |BQ| - |AB|$. 

Το ίδιο ισχύει συμμετρικά και για τις άλλες δύο πλευρές.

Τριγραμμικές Συντεταγμένες

Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του σημείου ίσης παράκαμψης είναι:

$$\sec \frac{A}{2}\cdot \cos \frac{B}{2}\cdot \cos \frac{C}{2}+1:\sec \frac{B}{2}\cdot \cos \frac{C}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}+1:\sec \frac{C}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}\cdot \cos \frac{B}{2}+1$$

---

3. Ιστορικό

• Το ισοπεριμετρικό σημείο παρουσιάστηκε το 1983 από τους C. Kimberling και R. W. Wagner στο περιοδικό American Mathematical Monthly.

• Το πρόβλημα αυτό οδήγησε τον G. R. Veldkamp στην εισαγωγή του σημείου ίσης παράκαμψης το 1985.

---

Συμπέρασμα

Το ισοπεριμετρικό σημείο και το σημείο ίσης παράκαμψης αποκαλύπτουν την κομψή συμμετρία που κρύβεται στα τρίγωνα.

Οι τριγραμμικές τους συντεταγμένες προσφέρουν ισχυρά εργαλεία για τη γεωμετρία τριγώνου και οδηγούν σε όμορφα αποτελέσματα με εφαρμογές σε θεωρητική και υπολογιστική γεωμετρία.