🎲 Πιθανότητες: Πότε Προσθέτουμε και Πότε Πολλαπλασιάζουμε;

Η θεωρία πιθανοτήτων συχνά προκαλεί σύγχυση στους μαθητές όταν πρέπει να αποφασίσουν αν θα προσθέσουν ή θα πολλαπλασιάσουν πιθανότητες.

Η σωστή επιλογή εξαρτάται από το πώς συνδυάζονται τα γεγονότα: με ΚΑΙ (AND) ή με Ή (OR).

---

1️⃣ Όταν έχουμε “ΚΑΙ” (AND) → Πολλαπλασιασμός

Αν θέλουμε την πιθανότητα να συμβούν και τα δύο γεγονότα $A$ και $B$:

$$P(A\text{ και }B)=P(A)\times P(B\mathrm{\mid }A)$$

• Το $P(B|A)$ είναι η πιθανότητα του $B$ αφού έχει συμβεί το $A$ (πιθανότητα υπό συνθήκη).

• Αν τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα (δηλαδή, το ένα δεν επηρεάζει το άλλο), τότε:

$$P(A\text{ και }B)=P(A)\times P(B)$$

🔹 Παράδειγμα AND (Ανεξάρτητα γεγονότα)

Ρίχνουμε δύο ζάρια. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε 6 στο πρώτο ΚΑΙ 6 στο δεύτερο;

• $P(6 στο πρώτο) = 1/6$
  

• $P(6 στο δεύτερο) = 1/6$
  

• Ανεξάρτητα γεγονότα → πολλαπλασιασμός:

$$P(6\kappa \alpha \iota 6)=1\mathrm{/}6\times 1\mathrm{/}6=1\mathrm{/}36$$

---

2️⃣ Όταν έχουμε “Ή” (OR) → Πρόσθεση (με προσοχή)

Αν θέλουμε την πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο γεγονότα $A$ ή $B$:

$$P(A\text{ ή}B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ και }B)$$

• Αφαιρούμε το $P(A \text{ και } B)$ για να μην μετρήσουμε δύο φορές την περίπτωση που συμβαίνουν και τα δύο.

Αν τα γεγονότα είναι αμοιβαία αποκλειόμενα (δεν μπορούν να συμβούν μαζί), τότε η τομή είναι μηδέν και έχουμε:

$$P(A\text{ ή}B)=P(A)+P(B)$$

---

🔹 Παράδειγμα OR (Μη αποκλειόμενα γεγονότα)

Τραβάμε τυχαία 1 χαρτί από τράπουλα. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε άσο ή μπαστούνι;

• $P(άσος) = 4/52$
  

• $P(μπαστούνι) = 13/52$
  

• $P(άσος και μπαστούνι) = 1/52$
  

$$P(\acute{\alpha }\sigma o\varsigma \acute{\eta }\mu \pi \alpha \sigma \tau o\acute{\upsilon }\nu \iota )=4\mathrm{/}52+13\mathrm{/}52-1\mathrm{/}52=16\mathrm{/}52=4\mathrm{/}13$$

---

3️⃣ Συνοπτικός Πίνακας

Συνδυασμός Γεγονότων	Τι Ζητάμε	Τύπος	Ειδική Περίπτωση
AND (ΚΑΙ)	Συμβαίνουν και τα δύο	P(A) × P(B|A)	P(A) × P(B) αν ανεξάρτητα
OR (Ή)	Συμβαίνει τουλ. ένα	P(A) + P(B) − P(A και B)	P(A) + P(B) αν αποκλειόμενα

4️⃣ Οπτική Κατανόηση

• Πολλαπλασιασμός (AND) → η τομή των γεγονότων είναι μικρότερη από κάθε πιθανότητα ξεχωριστά.

• Πρόσθεση (OR) → ένωση των γεγονότων, αλλά προσέχουμε να μη μετρήσουμε δύο φορές την τομή.

---

5️⃣ Συμβουλές Μελέτης

1. Διάβασε προσεκτικά την εκφώνηση: το “και” οδηγεί συνήθως σε πολλαπλασιασμό, το “ή” σε πρόσθεση.

2. Έλεγξε τη σχέση των γεγονότων:

   • Αν είναι ανεξάρτητα ή αλληλοεξαρτώμενα

   • Αν είναι αμοιβαία αποκλειόμενα ή όχι

3. Σχεδίασε ένα διάγραμμα Venn για οπτική κατανόηση.

4. Δοκίμασε να ελέγξεις το αποτέλεσμα με μια διαφορετική μέθοδο (π.χ. απαρίθμηση περιπτώσεων).

---

6️⃣ Τι να θυμάσαι

• “ΚΑΙ” → πολλαπλασιασμός

• “Ή” → πρόσθεση, αλλά αφαιρούμε την τομή αν δεν είναι αποκλειόμενα

• Έλεγξε ανεξαρτησία και αμοιβαίο αποκλεισμό πριν διαλέξεις τον τύπο