Γιατί η Απόδειξη Έχει Σημασία: Πολυωνυμικές Ρίζες και Σημεία Καμπής

Μαθητής:

«Έχω διαβάσει κάπου τι όλα τα πολυώνυμα περιττού βαθμού έχουν τουλάχιστον μία ρίζα, ενώ τα πολυώνυμα άρτιου βαθμού μπορεί να μην έχουν καμία.

Επίσης, στο YouTube είδα τον τύπο:

$$\text{Αριθμός σημείων καμπής =}\text{Αριθμός ριζών +}1-\text{Αριθμός άρτιων ριζών}\mathrm{.}$$

Ισχύει αυτό;»

---

1️⃣ Πόσες πραγματικές ρίζες μπορεί να έχει ένα πολυώνυμο;

• Ένα πολυώνυμο βαθμού $n$ μπορεί να έχει το πολύ $n$ πραγματικές ρίζες.

  • Παράδειγμα:

    • $f(x) = x^2 - 1$ → 2 ρίζες

    • $g(x) = x^2$ → 1 διπλή ρίζα

    • $h(x) = x^2 + 1$ → 0 ρίζες

---

2️⃣ Γιατί τα πολυώνυμα περιττού βαθμού έχουν τουλάχιστον ένα μηδενικό;

• Αν ο βαθμός είναι περιττός, η γραφική παράσταση «φεύγει» προς αντίθετες κατευθύνσεις στο ±∞, λόγω του μεγιστοβάθμιου όρου.

• Με βάση το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής, πρέπει να υπάρξει τουλάχιστον μία τομή με τον άξονα $x$.

---

3️⃣ Πόσα σημεία καμπής;

• Ένα πολυώνυμο βαθμού $n$ έχει το πολύ $n-1$ σημεία καμπής (δηλαδή αλλαγές από αύξουσα σε φθίνουσα ή αντίστροφα).

• Ο περίεργος τύπος από το YouTube είναι λανθασμένος και δεν υπάρχει σε καμία έγκυρη πηγή.

---

4️⃣ Συμπέρασμα

Μην εμπιστεύεσαι τυφλά ό,τι βλέπεις online. Η απόδειξη μάς δίνει σιγουριά:

• Τα πολυώνυμα περιττού βαθμού έχουν πάντα τουλάχιστον ένα πραγματικό μηδενικό.

• Ο μέγιστος αριθμός σημείων καμπής είναι $n-1$.

• Οι «φόρμουλες του YouTube» χρειάζονται πάντα επιβεβαίωση!