Κύλινδρος — Ορισμός, ιδιότητες, εμβαδόν και όγκος

Ο κύλινδρος είναι στερεό που προκύπτει περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο γύρω από μία πλευρά του. Πιο γενικά, θεωρείται ως το στερεό που περικλείεται από δύο παράλληλες επίπεδες κυκλικές βάσεις και την καμπύλη επιφάνεια που αποτελείται από όλα τα σημεία σε σταθερή απόσταση r από ευθεία κάθετη στα επίπεδα των βάσεων.

  Όταν ο άξονας είναι κάθετος στις βάσεις, μιλάμε για ορθό κυκλικό κύλινδρο (η τυπική περίπτωση).Η διάμετρος των βάσεων είναι d=2r και το ύψος (η απόσταση των βάσεων) είναι h. Ο όγκος ενός κυλίνδρου ισούται με το εμβαδόν της βάσης επί το ύψος, ενώ το ολικό εμβαδόν ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο βάσεων και της πλευρικής επιφάνειας.

Βασικοί τύποι (ορθός κυκλικός κύλινδρος)

• Πλευρική επιφάνεια:

  $$S_{\text{πλευρ.}}=2\pi rh$$
  
  (προκύπτει από «ανάπτυξη» της καμπύλης επιφάνειας σε ορθογώνιο με πλευρές $2\pi r$ και $h$).

• Ολικό εμβαδόν επιφάνειας:

  $$S_{\text{ολ.}}=2\pi r^2+2\pi rh$$

  (δύο κυκλικές βάσεις συν η πλευρική επιφάνεια).

• Όγκος:

  $$V=\pi r^{2}h$$

  (ίσο με τριπλάσιο του όγκου κώνου με ίδια βάση και ίδιο ύψος, αφού $V_{\text{κώνου}}=\tfrac13 \pi r^2 h$).

Παρατηρήσεις και επεκτάσεις

• Σχέση με πρίσματα: Ο κύλινδρος είναι «όριο» κυκλικού πρίσματος. Γενικεύοντας, για κάθε κύλινδρο (ορθό ή κεκλιμένο) ισχύει $V=\text{(εμβαδόν βάσης)}\times \text{(ύψος)}$.

• Κεκλιμένος κύλινδρος: Οι βάσεις παραμένουν ίσοι κύκλοι και το ύψος $h$ είναι η κάθετη απόστασή τους. Ο όγκος παραμένει $V=\pi r^2 h$. Για την πλευρική επιφάνεια χρησιμοποιείται η γενέτειρα (μήκος της πλάγιας ακτίνας), όχι το κάθετο ύψος.

• Μονάδες: Αν $r,h$ μετρώνται σε cm, τότε $S$ σε $\text{cm}^2$ και $V$ σε $\text{cm}^3$.

Σύντομες ερμηνείες τύπων

• Η περίμετρος της βάσης είναι $2\pi r$. Αναπτύσσοντας την καμπύλη επιφάνεια σε επίπεδο, σχηματίζεται ορθογώνιο με διαστάσεις $2\pi r$ και $h$, άρα $S_{\text{πλευρ.}}=2\pi r h$.

• Το ολικό εμβαδόν είναι $S_{\text{ολ.}}=S_{\text{πλευρ.}}+2(\pi r^2)$.

• Ο όγκος είναι το εμβαδόν της βάσης $\pi r^2$ επί το ύψος $h$: $V=\pi r^2 h$. Επομένως είναι τριπλάσιος από τον όγκο κώνου με ίδια βάση και ύψος.

Ενδεικτικές ασκήσεις (χωρίς λύσεις)

1. Δίνεται ορθός κύλινδρος με $r=4$ και $h=10$. Να βρεθούν $S_{\text{πλευρ.}}, S_{\text{ολ.}}, V$.

2. Ολικό εμβαδόν ορθού κυλίνδρου είναι $S_{\text{ολ.}}= 2\pi r^2+2\pi r h= 300\pi$ και ο όγκος $V=400\pi$. Να υπολογιστούν $r,h$.

3. Κεκλιμένος κύλινδρος έχει βάσεις ακτίνας $r=3$ και γενέτειρα $\ell=12$. Το κάθετο ύψος είναι $h=9$. Να υπολογιστούν $V$ και μια έκφραση για την πλευρική επιφάνεια σε όρους $r,\ell$.