Αλυσίδες νομισμάτων και μετακίνηση μπλοκ

Η Τράπεζα του Όσλο εκδίδει δύο τύπους νομισμάτων: αλουμινένια (A) και χάλκινα (B). Η Μαριάννα έχει n νομίσματα A και n νομίσματα B τοποθετημένα σε μία σειρά με κάποια αυθαίρετη αρχική διάταξη. 

Αλυσίδα ονομάζουμε κάθε μεγίστη (ως προς την επέκταση) υποακολουθία διαδοχικών νομισμάτων του ίδιου τύπου.

Δίνεται ένας σταθερός θετικός ακέραιος $k$ με $1\le k\le 2n$. Η Μαριάννα επαναλαμβάνει την εξής πράξη:
βρίσκει τη (μοναδική) μεγίστη αλυσίδα που περιέχει το $k$-οστό νόμισμα από τα αριστερά και μετακινεί ολόκληρη αυτή την αλυσίδα στο αριστερό άκρο της σειράς (διατηρώντας την εσωτερική της σειρά).

Παράδειγμα. Για $n=4$, $k=4$, από την αρχική διάταξη $\text{AABBBABA}$ η διαδικασία δίνει:

$$\text{AABBBABA }\to \text{ BBBAAABA }\to \text{ AAABBBBA }\to \text{ BBBBAAAA }\to \text{ BBBBAAAA }\to \cdots$$

Ζητούμενο: Να βρεθούν όλα τα ζεύγη (n,k) με 1≤k≤2n τέτοια ώστε, για κάθε αρχική διάταξη, σε κάποια στιγμή της διαδικασίας τα nnn αριστερότερα νομίσματα να είναι όλα του ίδιου τύπου.

IMO 2022