Εμβαδόν Επιφάνειας Στερεού Στροφής – Τύποι και Παραδείγματα

Όταν μια απλή καμπύλη γυρίσει γύρω από έναν άξονα, γεννιέται ένα τρισδιάστατο στερεό. Το ερώτημα είναι: πώς βρίσκουμε το εμβαδόν της επιφάνειάς του; Εδώ μπαίνει στο παιχνίδι η Ανάλυση και ο ολοκληρωτικός λογισμός.

Για να το καταλάβουμε, φανταστείτε ότι χωρίζουμε την καμπύλη σε πολλά μικρά ευθύγραμμα τμήματα και το καθένα περιστρέφεται, σχηματίζοντας ένα ξεχωριστό κομμάτι της επιφάνειας — αυτά τα κομμάτια είναι frustums (κατακόρυφα τμήματα κώνου). 

Υπολογίζουμε το εμβαδόν του καθενός και, όταν τα αθροίσουμε και περάσουμε στο όριο (όσο ο αριθμός των τμημάτων αυξάνεται στο άπειρο), παίρνουμε την ακριβή επιφάνεια.

Οι βασικοί τύποι είναι:

• Υπολογισμός Εμβαδού Επιφάνειας Στερεού Στροφής γύρω από τον άξονα x

  Έστω μια συνάρτηση $y = f(x)$, που είναι μη αρνητική και συνεχής στο διάστημα $[a,b]$. Αν περιστρέψουμε την καμπύλη γύρω από τον άξονα $x$, τότε η επιφάνεια που δημιουργείται έχει εμβαδόν:

  $$A=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+(f^{\mathrm{\prime }}(x){)}^2}dx$$

  όπου $f'(x)$ είναι η παράγωγος της $f(x)$.

  ---

  🔎 Επεξήγηση του τύπου

  • Ο όρος $2\pi f(x)$ παριστά την περιφέρεια του κύκλου που σχηματίζεται όταν το σημείο $(x, f(x))$ περιστραφεί γύρω από τον άξονα $x$.

  • Ο παράγοντας $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ εκφράζει το διαφορικό μήκος της καμπύλης σε ένα απειροστό τμήμα.

  • Το ολοκλήρωμα προσθέτει όλα αυτά τα μικρά «κομμάτια επιφάνειας» για το διάστημα $[a,b]$, δίνοντας το συνολικό εμβαδόν.

• Υπολογισμός Εμβαδού Επιφάνειας Στερεού Στροφής γύρω από τον άξονα y

  Αν έχουμε μια καμπύλη που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα $y$, με εξίσωση της μορφής $x = g(y)$, όπου η συνάρτηση είναι συνεχής και μη αρνητική στο διάστημα $[c,d]$, τότε το εμβαδόν της επιφάνειας δίνεται από τον τύπο:

  $$A = 2\pi \int_{c}^{d} g(y)\,\sqrt{1+\bigl(g'(y)\bigr)^2}\,dy$$

  🔎 Επεξήγηση Βήμα–Βήμα

  • Ο όρος $2\pi g(y)$ αντιστοιχεί στην περιφέρεια του κύκλου που σχηματίζεται όταν ένα σημείο της καμπύλης περιστραφεί γύρω από τον άξονα.

  • Ο παράγοντας $\sqrt{1+(g'(y))^2}$ εκφράζει το διαφορικό μήκος της καμπύλης, δηλαδή το μικρό κομμάτι τόξου που εξετάζουμε κάθε φορά.

  • Το ολοκλήρωμα λειτουργεί ως «άθροισμα» αυτών των μικρών τμημάτων σε όλο το διάστημα $[c,d]$, δίνοντας το συνολικό εμβαδόν της περιστρεφόμενης επιφάνειας.

---

Κλασικό Παράδειγμα:

Για τη συνάρτηση $y = \sqrt{x}$, από $x = 1$ έως $x = 4$, περιστρεφόμενη γύρω από τον x-άξονα:

1. Υπολογίζουμε $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
   

2. Βρίσκουμε τη ρίζα:
   $\sqrt{1 + (f'(x))^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4x}} = \sqrt{\frac{4x + 1}{4x}}.$
   

3. Οπότε έχουμε:

   $$S={\int }_1^{4}2\pi \sqrt{x}\cdot \sqrt{\frac{4x+1}{4x}}dx={\int }_1^{4}2\pi \sqrt{x+\frac{1}{4}}dx\mathrm{.}$$

Αυτό οδηγεί σε σχετικούς υπολογισμούς (όπως με αντικατάσταση $u = x + \tfrac{1}{4}$) για την τελική απάντηση.