Ένα Εντυπωσιακό Διπλό Ολοκλήρωμα και το μυστήριο του π 🧩

 Το παρακάτω διπλό ολοκλήρωμα φαίνεται αθώο, όμως κρύβει μια μαθηματική έκπληξη:

$$I={\int }_0^1{\int }_0^1\frac{1}{1-xy}dxdy$$

Με μια πρώτη ματιά, αν σκεφτείς το αντίστοιχο απλό ολοκλήρωμα θα περίμενες ότι η παράσταση συγκλίνει δύσκολα ή ακόμη και αποκλίνει. Όμως, με κατάλληλη ανάλυση, το αποτέλεσμα είναι:

$$I=\frac{{\pi }^2}{\mathrm{6}}$$

Ναι, το π εμφανίζεται ξαφνικά, «κρυμμένο» μέσα στο ολοκλήρωμα! ✨

---

Ο Γρίφος 🎯

1. Μπορείς να δείξεις ότι το παραπάνω ολοκλήρωμα ισούται με
   $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^2}$;
   

2. Ποια κλασική μαθηματική ανακάλυψη του Euler συνδέεται με αυτό το αποτέλεσμα;

3. Δοκίμασε την παραλλαγή:

   $$J={\int }_0^1{\int }_0^1\frac{x}{1-xy}dxdy$$

   και βρες γιατί το αποτέλεσμα εδώ δεν περιέχει το $\pi$ αλλά είναι ρητός αριθμός.