Ομοιόμορφη σύγκλιση (Uniform Convergence): Ορισμός & Ιδιότητες

Μια ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}$, με $f_n:X\to \mathbb{R}$ (ή γενικότερα σε μετρικό χώρο $Y$), λέγεται ότι συγκλίνει ομοιόμορφα σε συνάρτηση $f:X\to\mathbb{R}$ αν για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει $N$ ώστε για όλα τα $n\ge N$και για κάθε $x\in X$ να ισχύει

$$\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }<\epsilon \mathrm{.}$$

Η απαίτηση «το ίδιο $N$ να δουλεύει για όλα τα $x$» κάνει την ομοιόμορφη σύγκλιση αυστηρότερη από την κατά σημείο (pointwise) σύγκλιση.

Παράδειγμα (κατά σημείο αλλά όχι ομοιόμορφη). Στο $[0,1]$, ορίστε $f_n(x)=x^n$. Τότε $f_n(x)\to f(x)$, όπου

$$f(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x<1,\\ 1, & x=1, \end{cases}$$αλλά η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη, διότι κοντά στο x=1 η απόκλιση δεν ελέγχεται με ενιαίο N.

Ισοδύναμος χαρακτήρας με το υπέρτατο

Αν $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ για όλα τα $x\in X$, τότε η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη αν και μόνο αν

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in X}{\sup }\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }=0.$$

Ισοδύναμα, με την ομοιόμορφη νόρμα $\|g\|_\infty=\sup_{x\in X}|g(x)|$, έχουμε $\|f_n-f\|_\infty\to 0$.

Βασικές συνέπειες

• Συνέχεια: Αν κάθε $f_n$ είναι συνεχής και $f_n\to f$ ομοιόμορφα, τότε το $f$ είναι συνεχές.

• Ολοκλήρωση (π.χ. Riemann, Lebesgue, Stieltjes) σε κλειστό διάστημα: Αν $f_n\to f$ομοιόμορφα και κάθε $f_n$ είναι ολοκληρώσιμη, τότε

  $$\int f_n⟶\int f\mathrm{.}$$

• Παράγωγος (προσοχή στις προϋποθέσεις): Αν $f_n$ είναι παραγωγίσιμες στο $[a,b]$, υπάρχει σημείο $x_0$ με $f_n(x_0)\to L$, και οι παράγωγοι $f_n'$ συγκλίνουν ομοιόμορφα σε κάποια $g$, τότε $f_n\to f$ ομοιόμορφα, το $f$ είναι παραγωγίσιμη και $f'=g$. (Χωρίς ομοιόμορφη σύγκλιση των $f_n'$ η παραγωγισιμότητα του ορίου μπορεί να αποτύχει.)

Οι ιδιότητες αυτές δεν ισχύουν κατ’ ανάγκην για απλή κατά σημείο σύγκλιση, γι’ αυτό και η ομοιόμορφη σύγκλιση είναι το κατάλληλο πλαίσιο για «ανταλλαγή» ορίου με πράξεις όπως όριο–ολοκλήρωση ή όριο–παράγωγος, όταν ικανοποιούνται οι σωστές υποθέσεις.