Πράξεις ♢ – ♡ και λογάριθμοι

 Ορίζουμε τις πράξεις ♢ και ♡ για πραγματικούς a,b (όπου ορίζονται) ως εξής:

$$a\mathrm{♢}b=a^{{\log }_{7}b},a\mathrm{♡}b=a^{1\mathrm{/}{\log }_{7}b}\mathrm{.}$$

Η ακολουθία $(a_n)$ δίνεται αναδρομικά από $a_3=3\ \heartsuit\ 2$ και

$$a_n=(\,n\ \heartsuit\ (n-1)\,)\ \diamondsuit\ a_{n-1}\quad\text{για }n\ge 4.$$

Να βρεθεί, στρογγυλοποιημένο στον πλησιέστερο ακέραιο, το $\log_{7}(a_{2019})$.

(A) 8        (B) 9        (C) 10        (D)        11         (E) 12

2019 AMC 12A