Nα αποδειχθεί ότι: \[ \cos \theta = \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 8\theta}}} \]
Απόδειξη
Για να αποδείξουμε αυτήν την ταυτότητα, θα ξεκινήσουμε από το πρώτο μέλος και θα το απλοποιήσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο του μισού τόξου για το συνημίτονο:
\[ \cos \left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} \] το οποίο γράφετι:\[ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} = \cos \left(\frac{x}{2}\right) \]
Βήμα 1: Απλοποιούμε το υπόρριζο.
\[ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 8\theta} \]
Χρησιμοποιώντας τον τύπο του μισού τόξου για \( x = 8\theta \):
\[ = \cos \left(\frac{8\theta}{2}\right) = \cos 4\theta \]
Χρησιμοποιώντας τον τύπο του μισού τόξου για \( x = 8\theta \):
\[ = \cos \left(\frac{8\theta}{2}\right) = \cos 4\theta \]
Βήμα 2: Αντικαθιστούμε
\[ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 8\theta}} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4\theta} \]
Με χρήση του τύπου για \( x = 4\theta \):
\[ = \cos \left(\frac{4\theta}{2}\right) = \cos 2\theta \]
Με χρήση του τύπου για \( x = 4\theta \):
\[ = \cos \left(\frac{4\theta}{2}\right) = \cos 2\theta \]
Βήμα 3: Τελικά έχουμε
\[ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 8\theta}}} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2\theta} \]
Με χρήση του τύπου για \( x = 2\theta \):
\[ = \cos \left(\frac{2\theta}{2}\right) = \cos \theta \]
Με χρήση του τύπου για \( x = 2\theta \):
\[ = \cos \left(\frac{2\theta}{2}\right) = \cos \theta \]
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου