Μια Τριγωνομετρική Ταυτότητα Που Ξεδιπλώνεται σε Τρία Βήματα

Nα αποδειχθεί ότι: \[ \cos \theta = \sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 8\theta}}} \]

Απόδειξη

Για να αποδείξουμε αυτήν την ταυτότητα, θα ξεκινήσουμε από το πρώτο μέλος και θα το απλοποιήσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο του μισού τόξου για το συνημίτονο:

\[ \cos \left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} \] το οποίο γράφετι:\[ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} = \cos \left(\frac{x}{2}\right) \]

Βήμα 1: Απλοποιούμε το υπόρριζο.

\[ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 8\theta} \]
Χρησιμοποιώντας τον τύπο του μισού τόξου για \( x = 8\theta \):
\[ = \cos \left(\frac{8\theta}{2}\right) = \cos 4\theta \]

Βήμα 2: Αντικαθιστούμε 

\[ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 8\theta}} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4\theta} \]
Με χρήση του τύπου για \( x = 4\theta \):
\[ = \cos \left(\frac{4\theta}{2}\right) = \cos 2\theta \]

Βήμα 3: Τελικά έχουμε

\[ \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 8\theta}}} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2\theta} \]
Με χρήση του τύπου για \( x = 2\theta \):
\[ = \cos \left(\frac{2\theta}{2}\right) = \cos \theta \]