Κατασκευή Ισοπλεύρου σε Δοσμένο Ορθογώνιο

Δεδομένου ενός ορθογωνίου ABCD, πώς μπορούμε να επιλέξουμε ένα σημείο P στην BC και ένα σημείο Q στην CD έτσι ώστε το τρίγωνο APQ να είναι ισόπλευρο;

Λύση

Έστω \(AB = DC = a\), \(BC = AD = b\), \(DQ = x\) και \(BP = y\).

Ισχύει ότι:

\[ a^2 + y^2 = b^2 + x^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2 \]

Από αυτά προκύπτει ότι:

\[ 2(ax + by) = a^2 + y^2 = b^2 + x^2 \]

και έχουμε:

\[ \big(x^2 - 2ax + b^2\big)^2 = 4b^2\big(b^2 + x^2\big) - 4a^2 b^2 \]

Αυτό μπορεί να ξαναγραφεί ως:

\[ \big(x^2 + b^2\big)\Big(\big(x^2 + b^2\big) - 4ax - 4b^2\Big) = 0 \]

από το οποίο βρίσκουμε 

\[ x = 2a - \sqrt{3}\,b \]

και

\[ y = 2b - \sqrt{3}\,a \]