Λόγος Εμβαδών σε Σύνθετη Κατασκευή Κύκλου

Σε έναν κύκλο ακτίνας 4 σχεδιάζουμε τέσσερα τόξα στο εσωτερικό του. Τα τόξα αυτά δημιουργούν διαγράμματα σχήματος «ματιού», μέσα στα οποία εγγράφονται μικρότεροι κύκλοι. 

Θεωρούμε την περιοχή που απομένει μη χρωματισμένη μετά την τοποθέτηση των κύκλων αυτών. Έστω x το εμβαδόν του μεγαλύτερου κύκλου που μπορεί να εγγραφεί μέσα στη μη χρωματισμένη περιοχή, και y το συνολικό εμβαδόν της μη χρωματισμένης περιοχής.

Να βρεθεί ο ο λόγoς $\dfrac{x}{y}.$  

 $\textbf{(A)} ~\dfrac{(3-2\sqrt{2})\pi}{4-\pi} \qquad\textbf{(B)} ~\dfrac{(16-10\sqrt{2})\pi}{32-8\pi} \qquad\textbf{(C)} ~\dfrac{(2-\sqrt{2})\pi}{8-2\pi} \qquad\textbf{(D)} ~\dfrac{\pi}{32-8\pi}\qquad$ $\textbf{(E)}~\dfrac{\pi}{16-4\pi}$