Συνηθισμένα Λάθη στην Ανάλυση και Πώς να τα Αποφεύγεις

Στην Ανάλυση (Calculus) συχνά τα λάθη δεν γίνονται επειδή κάποιος δεν γνωρίζει τη θεωρία, αλλά επειδή εφαρμόζει λανθασμένα τους κανόνες ή παραλείπει κρίσιμες λεπτομέρειες. Ακολουθούν μερικά από τα πιο συνηθισμένα σφάλματα και οι σωστές πρακτικές που πρέπει να θυμάσαι:

🔹 1. Λανθασμένος τύπος παραγώγου ή ολοκληρώματος σε γινόμενο

Λάθος:

$$(fg{)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}{g}^{\mathrm{\prime }}$$

Σωστό:

$$(fg{)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)g(x)+f(x)g^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Στα ολοκληρώματα γινομένων ή πηλίκων, δεν υπάρχει «έτοιμος» τύπος, άρα πρέπει να τα χειρίζεσαι ξεχωριστά.

Λάθος:

∫fg dx=(∫f dx)(∫g dx)

Σωστό:

Αν έχεις ολοκλήρωμα γινομένου, μπορείς να χρησιμοποιήσεις:

• Μερική ολοκλήρωση (Integration by parts):

$$\int udv=uv-\int vdu$$

όπου επιλέγεις κατάλληλα $u$ και $dv$.

---

🔹 2. Κακή χρήση του τύπου ολοκλήρωσης

Ο τύπος:

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

ισχύει μόνο για $n \neq -1$.

Για $n=-1$:

$$\int \frac{1}{x}dx=\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+C$$

---

🔹 3. Παράλειψη του απόλυτου στο $\ln|x|$

Πάντα γράφουμε:

$$\int \frac{1}{x}dx=\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+C$$

και όχι απλώς $\ln x + C$, γιατί το $x$ μπορεί να είναι αρνητικό.

---

🔹 4. Λάθη σε όρια και σημειολογία ολοκληρωμάτων

• Στα όρια, πρέπει να κρατάμε το σύμβολο του ορίου μέχρι να το υπολογίσουμε:

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }(x+3)=\mathrm{6}$$

και όχι απλώς

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

Το σύμβολο του ορίου πρέπει να μένει μέχρι την τελική αντικατάσταση!

• Στα ολοκληρώματα:

$$\int x(3x-2)dx\mathrm{\ne }3x^2-2x$$

Σωστό είναι:

$$\int (3x^2 - 2x)\, dx = x^3 - x^2 + C$$

🔹 5. Παράλειψη της σταθεράς ολοκλήρωσης $+C$

Αν ξεχάσεις το +C στις αόριστες ολοκληρώσεις, μπορεί να οδηγηθείς σε λάθος λύσεις σε διαφορικές εξισώσεις.

---

🔹 6. Παρερμηνείες με το άπειρο και το μηδέν

Δεν ισχύει ότι:

$$\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0,\frac{1}{0}=\mathrm{\infty }$$

Αυτές είναι απλοποιημένες δηλώσεις. Το σωστό είναι να χρησιμοποιούμε όρια:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}=0,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty },\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }$$

Επίσης, οι μορφές $0/0, \infty/\infty, \infty - \infty$ είναι απροσδιόριστες μορφές και χρειάζονται προσεκτική ανάλυση.

---

✅ Συμβουλές

• Έλεγξε πάντα τις προϋποθέσεις πριν εφαρμόσεις έναν τύπο.

• Μην ξεχνάς το $dx$, τα όρια και το $+C$.

• Τα όρια δεν είναι αριθμοί — είναι αποτέλεσμα διαδικασίας.

• Η σωστή σημειολογία μπορεί να σε γλιτώσει από πολλά λάθη!