Νόμος των Μεγάλων Αριθμών (Law of Large Numbers)

Ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών (Law of Large Numbers) είναι ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Μαθηματικά διατυπώνεται ως εξής:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} = \mathbb{E}[X_1], \quad \text{με πιθανότητα 1}.$$

Με απλά λόγια, ο νόμος λέει ότι:

Όσο περισσότερες φορές επαναλαμβάνουμε ένα τυχαίο πείραμα, τόσο ο μέσος όρος των αποτελεσμάτων πλησιάζει στην αναμενόμενη τιμή.

Παράδειγμα:

• Αν ρίξουμε ένα ζάρι 6 όψεων λίγες φορές, οι μέσοι όροι μπορεί να διαφέρουν πολύ (3, 4.5, 2.8 κ.λπ.).

• Αν όμως το ρίξουμε 10.000 φορές, ο μέσος όρος των αποτελεσμάτων θα πλησιάσει όλο και περισσότερο στο θεωρητικό μέσο 3.5.

---

Συχνή παρεξήγηση (Gambler’s Fallacy):

Ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών δεν σημαίνει ότι μετά από μια σειρά «ατυχιών» (π.χ. δέκα χαμένα παιχνίδια στη σειρά) «οφείλεται» μια επιτυχία. Κάθε δοκιμή είναι ανεξάρτητη. Αν η πιθανότητα κέρδους είναι 0.5, τότε και στην επόμενη δοκιμή παραμένει 0.5, ανεξάρτητα από το τι συνέβη πριν.

---

Έτσι, ο νόμος μάς λέει ότι σε βάθος χρόνου οι μέσοι όροι σταθεροποιούνται, αλλά όχι ότι τα βραχυπρόθεσμα αποτελέσματα εξισορροπούνται.