Η έννοια του Κλειστού (Closed) στα Μαθηματικά

Υπάρχουν δύο βασικές σημασίες της λέξης κλειστό στα μαθηματικά:

Στην Τοπολογία

• Ένα σύνολο λέγεται κλειστό αν το συμπλήρωμά του είναι ανοιχτό, ή ισοδύναμα αν περιέχει όλα τα οριακά του σημεία.

  

• Παραδείγματα: ένα ορθογώνιο με τα σύνορα του, ή ένας κύκλος μαζί με την περιφέρειά του.

• Επίσης, μια ποικιλία (manifold) λέγεται closed αν είναι συμπαγής και χωρίς σύνορο.

Στις Συναρτήσεις / Κλειστότητα Συνόλων

• Ένα σύνολο $S$ λέγεται κλειστό υπό μια πράξη $f$ αν:

$$x_1, \ldots, x_t \in S \;\;\implies\;\; f(x_1,\ldots,x_t) \in S$$ Παράδειγμα:

• Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση, καθώς το άθροισμα δύο πραγματικών αριθμών είναι πάντα πάλι πραγματικός αριθμός.