Το δίλημμα με τα ζάρια του de Méré — ποιο είναι πιο πιθανό;

Ερώτημα:
Τι είναι πιο πιθανό;

1. να εμφανιστεί τουλάχιστον ένα 6 σε 4 ρίψεις ενός ζαριού, ή

2. να εμφανιστεί τουλάχιστον ένα διπλό 6 σε 24 ρίψεις δύο ζαριών;

   

Η σωστή μέθοδος: υπολογισμός μέσω συμπληρώματος

Χρησιμοποιούμε τον τύπο

P(τουλάχιστον μία “επιτυχία”)  $=  1−(1−p)^n$.

1) Τουλάχιστον ένα 6 σε 4 ρίψεις (μονό ζάρι)

$$\mathbb{P}(\kappa \alpha \nu έ\nu \alpha \; 6)={\left(\frac{5}{6}\right)}^4=\frac{625}{1296}\mathrm{.}$$

Άρα

$$\mathbb{P}(\ge 16)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx 0.5177(=51.77\mathrm{\%})\mathrm{.}$$

2) Τουλάχιστον ένα διπλό 6 σε 24 ρίψεις (ζευγάρι ζαριών)

Σε μία ρίψη δύο ζαριών,
$\mathbb P(\text{διπλό 6})=\tfrac{1}{36}$ και
$\mathbb P(\text{όχι διπλό 6})=\tfrac{35}{36}$.
Σε $24$ ανεξάρτητες ρίψεις:

$$\mathbb{P}(\text{κανένα διπλό}\text{ 6})={\left(\frac{35}{36}\right)}^{24}\mathrm{.}$$

Άρα

$$\mathbb{P}(\ge 1\text{διπλό}\text{ 6})=1-{\left(\frac{35}{36}\right)}^{24}\approx 0.4914(=49.14\mathrm{\%})\mathrm{.}$$

Συμπέρασμα:
Το σενάριο (1) είναι πιο πιθανό ($51.8\%$) από το (2) ($49.1\%$).

---

Γιατί δεν δουλεύει το «διαισθητικό» 1/6 vs 1/36

Ο de Méré σκέφτηκε: «Το διπλό 6 έχει πιθανότητα $\tfrac{1}{36}$, που είναι 6 φορές μικρότερη από το $\tfrac{1}{6}$ ενός 6. Άρα αν κάνω 6 φορές περισσότερες δοκιμές, θα εξισώσω τις πιθανότητες».
Λάθος! Οι πιθανότητες «τουλάχιστον μίας επιτυχίας» δεν κλιμακώνονται γραμμικά με τον αριθμό δοκιμών. Αυτό που συνδυάζεται καθαρά είναι η πιθανότητα μηδενικών επιτυχιών: $(1-p)^n$.

Παρένθεση: Και στις δύο ρυθμίσεις ο αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών είναι ίδιος:

$$4\cdot \frac{1}{6}=24\cdot \frac{1}{36}=\frac{2}{3},$$

αλλά ίση προσδοκώμενη τιμή $\neq$ ίση πιθανότητα για «τουλάχιστον μία επιτυχία».

---

TL;DR

$$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^4>1-{\left(\frac{35}{36}\right)}^{24},$$

άρα το «τουλάχιστον ένα 6 σε 4 ρίψεις» κερδίζει.