Η Αντιστροφή της Παραγώγου: γιατί \( \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \)

Όταν δύο μεταβλητές \(x\) και \(y\) συνδέονται με αντιστρέψιμη, παραγωγίσιμη συνάρτηση \(y=f(x)\), η παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης εμφανίζει τη συμμετρία 

\(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}\).

Παρακάτω έχουμε μια σύντομη και αυστηρή απόδειξη με παράδειγμα.

Διατύπωση

Αν \(y=f(x)\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0\) και \(f'(x_0)\neq 0\), τότε υπάρχει τοπικά αντίστροφη \(x=g(y)=f^{-1}(y)\) με \[ g'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)},\qquad y_0=f(x_0). \] Ισοδύναμα, \[ \boxed{\ \frac{dx}{dy}\Big|_{y=y_0}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}\big|_{x=x_0}}\ }. \]

Απόδειξη (με λόγους μεταβολής)

Θέτουμε \(y_0=f(x_0)\). Για \(y\to y_0\) (άρα \(x\to x_0\)) έχουμε \[ \frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0} =\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} =\dfrac{1}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}. \] Περνώντας στο όριο, \[ g'(y_0)=\lim_{y\to y_0}\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0} =\frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} =\frac{1}{f'(x_0)}. \] QED.

Mε κανόνα αλυσίδας (εναλλακτικά)

Από την ταυτότητα \(f(g(y))=y\) παίρνουμε, παραγωγίζοντας, \[ f'(g(y))\,g'(y)=1 \Rightarrow g'(y)=\frac{1}{f'(g(y))}. \] Με \(x=g(y)\) προκύπτει \(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}\).

Παράδειγμα

\[ y=x^3 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{dx}{dy}=\frac{1}{3x^2}. \] Με \(x=y^{1/3}\) παίρνουμε \(\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{3\,y^{2/3}}\).

Σχόλια & παγίδες

• Απαραίτητο: \(f'(x_0)\ne 0\) για τοπική αντιστρεψιμότητα.
• Αν \(f'(x_0)=0\), η αντίστροφη μπορεί να μην είναι παραγωγίσιμη ή να μην υπάρχει.