Τύπος του Euler:
Αν P είναι οποιοδήποτε κυρτό πολύεδρο και
V, E, F δηλώνουν αντίστοιχα τον αριθμό των κορυφών, ακμών και εδρών του, τότε ισχύει:
\[
V - E + F = 2
\]
Η εφαρμογή του τύπου του Euler:
Σχήμα | Κορυφές (V) | Ακμές (E) | Έδρες (F) |
---|---|---|---|
Τετράεδρο | 4 | 6 | 4 |
Κύβος / Εξάεδρο | 8 | 12 | 6 |
Οκτάεδρο | 6 | 12 | 8 |
Δωδεκάεδρο | 20 | 30 | 12 |
Εικοσάεδρο | 12 | 30 | 20 |
Πρόβλημα
Ένα κυρτό πολύεδρο έχει έδρες: 12 τετράγωνα, 8 κανονικά εξάγωνα και 6 κανονικά οκτάγωνα. Σε κάθε κορυφή συναντώνται 1 τετράγωνο, 1 εξάγωνο και 1 οκτάγωνο. Πόσα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν κορυφές του πολύεδρου βρίσκονται στο εσωτερικό του (όχι πάνω σε ακμή ή σε διαγώνιο έδρας); (Πρόβλημα AIME 1988 #10)
Λύση
- Αριθμός Εδρών: \(F = 12 + 8 + 6 = 26\).
- Αριθμός Ακμών:
- Τετράγωνα: \(12 \times 4 = 48\) ακμές
- Εξάγωνα: \(8 \times 6 = 48\) ακμές
- Οκτάγωνα: \(6 \times 8 = 48\) ακμές
Σύνολο 144, αλλά κάθε ακμή ανήκει σε 2 έδρες, άρα \(E = 144/2 = 72\). - Αριθμός Κορυφών:
Σύνολο «γωνιών» = \(48 + 48 + 48 = 144\). Κάθε κορυφή συμμετέχει σε 3 έδρες, άρα \(V = 144/3 = 48\). - Έλεγχος με Euler: \(48 - 72 + 26 = 2\) ✅
- Συνολικές συνδέσεις κορυφών: \(\binom{48}{2} = 1128\).
- Αφαιρούμε:
- Ακμές: 72
- Διαγώνιες εδρών:
Τετράγωνο: 2 × 12 = 24
Εξάγωνο: 9 × 8 = 72
Οκτάγωνο: 20 × 6 = 120
Σύνολο διαγωνίων εδρών = 216. - Εσωτερικά τμήματα: \(1128 - 72 - 216 = 840\).
Απάντηση: \(\boxed{840}\)
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου