Ο Τύπος του Euler για Πολύεδρα: Παράδειγμα και Εφαρμογή σε Πρόβλημα AIME

Τύπος του Euler:

Αν P είναι οποιοδήποτε κυρτό πολύεδρο και V, E, F δηλώνουν αντίστοιχα τον αριθμό των κορυφών, ακμών και εδρών του, τότε ισχύει: \[ V - E + F = 2 \]

Η εφαρμογή του τύπου του Euler:

Σχήμα	Κορυφές (V)	Ακμές (E)	Έδρες (F)
Τετράεδρο	4	6	4
Κύβος / Εξάεδρο	8	12	6
Οκτάεδρο	6	12	8
Δωδεκάεδρο	20	30	12
Εικοσάεδρο	12	30	20

Πρόβλημα

Ένα κυρτό πολύεδρο έχει έδρες: 12 τετράγωνα, 8 κανονικά εξάγωνα και 6 κανονικά οκτάγωνα. Σε κάθε κορυφή συναντώνται 1 τετράγωνο, 1 εξάγωνο και 1 οκτάγωνο. Πόσα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν κορυφές του πολύεδρου βρίσκονται στο εσωτερικό του (όχι πάνω σε ακμή ή σε διαγώνιο έδρας); (Πρόβλημα AIME 1988 #10)

Λύση

1. Αριθμός Εδρών: \(F = 12 + 8 + 6 = 26\).
2. Αριθμός Ακμών:
   - Τετράγωνα: \(12 \times 4 = 48\) ακμές
   - Εξάγωνα: \(8 \times 6 = 48\) ακμές
   - Οκτάγωνα: \(6 \times 8 = 48\) ακμές
   Σύνολο 144, αλλά κάθε ακμή ανήκει σε 2 έδρες, άρα \(E = 144/2 = 72\).
3. Αριθμός Κορυφών:
   Σύνολο «γωνιών» = \(48 + 48 + 48 = 144\). Κάθε κορυφή συμμετέχει σε 3 έδρες, άρα \(V = 144/3 = 48\).
4. Έλεγχος με Euler: \(48 - 72 + 26 = 2\) ✅
5. Συνολικές συνδέσεις κορυφών: \(\binom{48}{2} = 1128\).
6. Αφαιρούμε:
   - Ακμές: 72
   - Διαγώνιες εδρών:
     Τετράγωνο: 2 × 12 = 24
     Εξάγωνο: 9 × 8 = 72
     Οκτάγωνο: 20 × 6 = 120
   Σύνολο διαγωνίων εδρών = 216.
7. Εσωτερικά τμήματα: \(1128 - 72 - 216 = 840\).

Απάντηση: \(\boxed{840}\)